2. Основні логічні операції.

Означення логічних функцій дає можливість встановити істинність складного висловлення за значенням істинності його компонентів (складових).

Логічні операції застосовують для об’єднання простих висловлень у складні.

Основні логічні операції над висловленнями:

1) Операція „Константа – нуль ” – передає висловлення, яке завжди хибне: „F=0”.

Приклад: А „152” – хибне завжди.

2) Операція „Константа – одиниця ” – передає висловлення, яке є завжди істинним: „F=1”.

Приклад: В „5<6” – істинне.

3) Логічна операція: “Змінна А” - складне висловлення , яке істинне тоді, коли А - істинне і хибне, коли А – хибне.

4) Логічна операція „ Не” (заперечення) – це висловлення яке позначається „F=Ā”

і визначається таблицею істинності:

А	Ā
1 0	0 1

F = Ā – істинне тоді, коли А – хибне і навпаки.

Приклад:

а) А ”53” А=0

Ā – означає: неправильно що 53, або „5 не ділиться на 3”, тоді Ā=1

б) В”7 - просте число ” В1, тоді 0 означає „неправильно, що 7 - просте число”, або „7 – непросте число”.

З операцією заперечення зв’язана тотожність: - закон подвійного заперечення.

Тепер перейдемо до бінарних логічних операцій (операцій, які застосовуються до пари висловлень)

5) Логічна операція «Кон’юнкція»(добуток, логічне множення)- називається складне висловлення F=АВ, яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинні обидва висловлення і А і В.

А	В	АВ
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1

Кон’юнкція відповідає союзу „і” і має конструкцію „… і _***”.

Кон’юнкція має слідуючи властивості:

1. - комутативний закон.

2. - закон ідемпотентності.

3. 

4. 

6) Логічна операція «Диз’юнкція» (логічна сума) – називається складне висловлення „”, яке істинне тоді і тільки тоді коли істинне хоча б одне із висловлень А і В.

Диз’юнкція відповідає сполучнику „або” і має конструкцію „… або _***”.

А	В
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1

Властивості диз’юнкції.

1. - комутативний закон

2. - закон ідемпотентності

3. 

4. 

7) Логічна операція „Імплікація”, („якщо-то”) – називається складне висловлення „”, яке є хибним тоді і тільки тоді, коли А – істинне, В – хибне.

Читається: „якщо А, то В” або „з А слідує В”.

А – називається умовою імплікації, В – наслідком

А	В
0 0 1 1	0 1 0 1	1 1 0 1

Приклад:

А „3624” А = 0

В „366” В = 1

А В „Якщо 3624, то 366” 1

В А „Якщо 366, то 3624” 0

Для імплікації мають місце властивості:

1)( а в) ( в а) 4) 1 а а

2) а а 1 5) а 1 1

3) 0 а 1 6) а 0

8) Логічна операція: „Заборона по В” (заперечення імплікації АВ) - називається складне висловлення „”, яке є істинним тоді і тільки тоді, коли А – істинне, а В – хибне

А	В	А Δ В
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 1 0

Читається: „Невірно, що якщо А то В»

9) Логічна операція: „Заборона по А” (заперечення імплікації ВА) називається складне висловлення „”, яке є істинним тоді і тільки тоді, коли В - істинне, а А – хибне.

В	А	ВΔА
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 1 0

10) Логічна операція: “Еквівалентність” (рівнозначність) - називається складне висловлення „”, („”) істинне тоді і тільки тоді, коли А=В=1 або А=В=0.

А	В	А ~ В
0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 1

Еквівалентність відповідає конструкції: „...рівносильно...” або „...тоді і тільки тоді, коли...”.

Властивості еквівалентності:

1. а ~ в в ~ а –комутативний закон.

2. а ~ в ~

3. а ~ 1 а

4. а ~ 0

11) Логічна операція: “Нерівнозначність” - складне висловлення F =АВ (АВ), яке істинне тоді і тільки тоді, коли одне істинне, а друге хибне.

Читається: „А нерівнозначне до В”.

А	В	А В
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 0

12) Логічна операція: “Стрілка Пірса” (функція Вебба) - складне висловлення, яке істинне тоді і тільки тоді, коли обидва висловлення А і В хибні: F==АВ.

Читається: „ні А ні В”.

А	В	А В
0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 0

13) Логічна операція: “Штрих Шефера” - складне висловлення F=А│В=, яке хибне тоді і тільки тоді, коли обидва висловлення істинні.

Читається: „невірно, що А і В”.

А	В	А│В
0 0 1 1	0 1 0 1	1 1 1 0