3. Відображення.

Відображенням множини А в множину В називається відношення, в якому кожному елементу множини А ставиться у відповідність не більш ніж один, однозначно визначений елемент множини В.

Елемент b множини В називається образом елемента a множини А, в свою чергу елемент a називається прообразом елемента b.

Відображення однієї множини в іншу позначається малими літерами грецького алфавіту φ, α, β…

φ: А→В або А→В.

Образ елемента a позначається: (a)φ.

Способи відображення однієї множини в іншу: 1) графічний; 2) стрілковий; 3) табличний.

Приклад 1. А={2;3;6;7}, В={4;9;11;12;28}

φ: А→В –це відображення, яке кожному числу з множини А ставить у відповідність найменше спільне кратне цього числа і числа 4, яке входить до множини В.

(3)φ= 12 12- образ 3, 3- прообраз 12

(6)φ=12 12- образ 6, 6- прообраз 12.

(2)φ= 4 4 - образ 2, 2- прообраз 4.

Стрілкова схема:

Табличний спосіб задання:

a	2	3	6	7
	4	12	12	28

Приклад 2. А={г;а;и;л}, В={1;2;3;4;5;6;7}

φ: А→В –це відображення, за яким кожній літері з множини А ставиться у відповідність її порядковий номер у слові “ логарифм”.

Графічне задання: В

А

Стрілкове задання: А={г;а;и;л}

В={1;2;3;4;5;6;7}

Види відображень:

Сюр’єкція – це відображення множини А в множину В, при якому для кожного елемента b з множини В знайдеться елемент a з множини А такий, що (a)φ = b.

А={2;3;6;7}, В={4;12;28}

Стрілкове задання: а) А={2; 3; 6; 7}

В={4; 12; 28}

Табличне задання:

a	2	3	6	7
	4	12	12	28

Якщо множини А і В скінченні, то в нижньому ряду таблиці знаходяться всі елементи множини В, хоча можливо і не один раз.

В стрілковому зображенні в кожний елемент множини В входить хоча б одна стрілка.

Сюр’єкція скінченної множини на скінченну множину існує не завжди. Щоб відображення φ: А→В було сюр’єкцією необхідно, щоб виконувалась умова │А│≥│В│.

Ін’єкція.

Відображення множини A на множину B називається ін’єкцією, якщо різним елементам множини А відповідають різні елементи множини В:

a₁≠a₂ (a₁)φ ≠ (a₂)φ

В нижньому ряду таблиці ін’єктивного відображення кожний елемент множини В присутній один раз. При стрілковому зображенні ін’єкції в кожний елемент множини В, входить не більше ніж одна стрілка.

Ін’єкція можлива, якщо │А│≤│В│.

А={1;2;3;4}

В={10;15;20;25;30;35;40;45}

Бієкція.

Якщо відображення множини А на множину В є одноразово сюрєктивним та інєктивним, то воно називається взаємно-однозначним або бієкцією множини А на множину В.

Бієкція можлива, якщо виконується рівність │А│=│В│.

Схематично бієктивне відображення позначається так: АВ.