Розділ 3. Алгебра логіки.

План.

1. Висловлення.

2. Основні логічні операції. (*)

3. Основні закони алгебри логіки. (**)

4. Логічні функції. (***)

5. Бульові функції. (***)

1. Висловлення.

Математична логіка – це алгебра висловлень, яка дає простий логічний апарат і відповідну символіку.

Свої судження і висновки в повсякденному житті люди передають за допомогою речень. Особливу роль відіграють речення стверджувальні і розповідні, які несуть інформацію і відносно яких можна поставити питання істинне воно чи хибне.

Приклади: 1) числа 9 і 37 взаємно-прості;

2) Архімед – англійський математик

Можна стверджувати, що приклад 1 є істинним висловленням, а приклад 2 – хибне.

Терміни „висловлення”, „істинне висловлення”, „хибне висловлення” належать до неозначуваних понять.

Висловлення вивчають тільки з точки зору того, істинні вони чи хибні, зовсім не цікавлячись їхнім конкретним змістом.

Висловлювання вважають своєрідною величиною, яке може мати тільки одне значення: „істинне” або „хибне”.

Висловлення – зв’язне розповідне речення, про яке модна сказати „істинне” воно або „хибне”.

Будь-яке твердження, що може бути істинним або хибним називається висловленням.

Приклади:

1. „2×2=4”

2. „2<3”

3. Річка Дон в 1998 році нашої ери впадає в Каспійське море.

4. „” , „Дійсне число, менше 2”

5. „Площа відрізка менша довжини куба”

6. Чи є х=3 коренем рівняння ?

7. Менше один в являється два.

8. Слава російським студентам!

9. „”

Висловленнями є приклади 1, 2, 3, 9. при чому 1 і 2 – істинні, а 3 і 9 – хибні.

Приклад 5 – не є висловленням, бо про нього не можна сказати істинне воно або хибне (за відсутністю змісту).

Приклад 4 – не є висловленням, бо в ньому є змінна, і через неї це речення має властивість перетворюватись в висловлення при фіксації змінної, якщо х= -1, то висловлення 4 – істинне висловлення, якщо х=3, то висловлення 4 – хибне висловлення. Такі приклади є узагальненими прикладами.

Приклади 6, 8 –не висловленнями, бо не є розповідними реченнями.

Приклад 5 – не висловлення, бо відсутній зміст розповідного речення.

Отже, висловлення можуть бути утворені за допомогою слів або символів, але далеко не кожний набір слів або символів є висловленням.

Висловлення позначають буквами латинського алфавіту: А,В,С...

, .

Знак заміняє слова „є висловленням”.

Висловлення ділять на прості та складні.

Висловлення: А „Вісім – парне число”

В „Одинадцять ділиться на 3”

С „Київ – столиця України”

Висловлення А, С – істинні, їм приписується значення 1, А1, С1.

Висловлення В – хибне; В0, приписують значення рівне 0.

З простих висловлень при допомозі так званих логічних зв’язок (союзів „і”, „або”, слів: „якщо..., то...”, „тоді і тільки тоді, коли...”) можна утворювати нові висловлювання які називаються складними:

Приклад: Висловлення ; і В „число 6 – просте ” – прості.

З висловів А і В можна утворювати слідуючи складні висловлення:

С „6<7 або 6 – просте число”;

D „6<7 і число 6 – просте ”;

Е „6<7 тоді і тільки тоді, коли число 6 просте”;

F „якщо 6<7, то число 6 - просте ”.

Зауваження: нові висловлення можна утворювати з таких висловлень, які між собою ніяк не зв’язані по смислу.

Наприклад: М „Якщо слон – комаха, то Антарктида покрита тропічними лісами”.

(висловлення М – складене за допомогою логічної зв’язки – „якщо..., то...” з двох висловлень, які між собою аж ніяк не зв’язані).

В математичній логіці істинність складного висловлення установлюється незалежно від істинності чи хибності простих висловлень з яких вони складені, а на основі зв’язок за допомогою яких вони складені.