Розділ 5. Теорія графів.
План.
-
Основні поняття.
-
Способи задання графів. (*)
-
Маршрути, ланцюги, цикли.
-
Ейлерів граф.
-
Дерево.(*)
-
Транспортні мережі. (**)
Часто при розв’язуванні нестандартних задач або головоломок зручно зображати об’єкти точками, а зв’язки між ними лініями або стрілками. Такий спосіб зображення ситуацій називається графом.
Графи широко застосовуються в багатьох розділах прикладної математики, в програмуванні, електротехніці, в теорії планування та управління. Різноманітність застосувань графів зумовило виділення теорії графів як окремої математичної дисципліни. Теорія графів служить математичною моделлю для кожної системи, яка містить бінарне відношення.
Суть методу графів полягає у представленні відношень між об’єктами у вигляді точок і відрізків, що їх з’єднують. У цьому випадку легше сприймаються і розрізняються зв’язки і відношення між об’єктами. Завдяки наочності графів можна виявляти приховані відношення, відкидати невідповідні випадки, звужуючи область повного перебору.
Приклади графів: схеми автодоріг, електричне коло, план метрополітену, відрізок, квадрат, структурна формула молекули та ін.
1. Основні поняття.
Означення. Граф – це сукупність двох множин: множини точок V і множини ліній E, між елементами яких визначено відношення інцидентності.
Відношення інцидентності означає відповідність кожного елемента множини Е рівно двом елементам множини V.
Елементи
множини V
(точки
)
називаються вершинами графа G;
елементи множини Е
(відрізки,
лінії
)
називаються ребрами графа G.
Вершини та ребра називаються елементами
графа.
Кількість вершин графа називається його порядком: m(G).
б в г а
д е ж
Деякі вершини графа можуть бути не сполучені ребрами.
Вершини, які не належать жодному ребру називаються ізольованими.
Два
ребра інцидентні одній вершині
називаються суміжними:
.
Різні ребра можуть бути інцидентні одній і тій же вершині, такі ребра називаються кратними. (мал. г )
Ребро, яке з’єднує вершину саму з собою називається петлею. (мал. ж )
Лінії, що зображають ребра графа можуть перетинатись, але точки перетину не є вершинами.
Якщо множина ребер Е порожня, то такий граф називається нуль - графом.
Якщо множина V порожня, то порожньою буде і множина Е і такий граф називається порожнім.
Граф, що містить кратні ребра називається мультиграфом.
Граф із петлями і кратними ребрами називається псевдографом.
Граф на мал. б - нескінченний. Його вершини – це точки площини з цілими координатами (х; у), а ребра, що їх з’єднують – вертикальні і горизонтальні відрізки.
Якщо множини V і Е скінченні, то граф називається скінченним.
Кількість ребер графа, яким належить одна вершина називається степенем вершини.
Якщо всі вершини графа мають парний степінь, то граф називається парним.
Граф, на кожному ребрі якого задано напрям, називається орієнтованим. Позначають D.
Напрямлене ребро називається дугою.
б а в г
Перша по порядку вершина називається його початком, остання – його кінцем.
Орієнтований граф може містити кратні ребра, петлі, ребра, які інцидентні одній парі вершин, але мають протилежний напрям. (мал. в )
Кожному неорієнтованому графу можна поставити у відповідність орієнтований граф з тією самою кількістю вершин, в якій кожне ребро замінено двома орієнтованими ребрами, інцидентними одній парі вершин і мають протилежний напрям. Таку відповідність називають канонічною.
Граф, що має як ребра так і дуги називається мішаним.
Два графа називаються ізоморфними, якщо у них однакова кількість вершин (по п) і вершини кожного графа можна занумерувати числами від 1 до п так, щоб вершини першого графа були сполучені ребром тоді і тільки тоді, коли відповідні вершини другого графа (тобто вершини занумеровані тими ж числами) також сполучені ребром.