3. Основні закони алгебри логіки.
В алгебрі логіки існують логічні закони, логічні суперечності, або твердження, що логічно виконуються.
* Логічним законом називається складне висловлення, яке є істинним при всіх можливих комбінаціях значень, висловлень які до нього входять.
* Логічною суперечністю називається складне висловлення яке є завжди хибним, при всіх можливих комбінаціях значень, висловлень, які до нього входять.
* Твердженням, що логічно виконується називається складне висловлення, яке є істинним для одних значень простих висловлень і хибним для інших значень простих висловлень.
Основні закони алгебри логіки:
-
Назва закону
Логічний запис
1) Тотожність
2) Суперечності
3) Виключеного третього
4) Ідемпотентності
5) Комутативний
6) Асоціативний
7) Дистрибутивний
8) Поглинання
9) Де Моргана (подвійності)
10) Подвійного заперечення
11) Властивість одиниці
12) Властивість нуля
А
А
=1
+
=
1
=1;
А+А=А.А+В=В+А;
(АВ)С=А(ВС)
А+(В+С)=(А+В)+С
(А+В)·С= АС+ВС
А(А+В)=А
А+АВ=А
=
=
+
А·1=А
А+1=1
А+0=А
4. Логічна функція.
* Логічною називається функція F від n змінних, х1...хn, яка так само, як і аргументи може набирати лише два значення 0 і 1. х1; х2; ... хn – аргументи функції.
-
Набором називається сукупність а1;а2;...аn значень змінних х1; х2;.... хn.
Теорема: Кількість наборів для аргументів х1; х2;.... хn логічної функції N=2n
Набори для аргументів х1; х2.
-
№ набору
x1
x2
0
1
2
3
0
0
1
1
0
1
0
1
Теорема:
Кількість
різних логічних функцій від n аргументів
Якщо n=1(одна змінна), то N=2; M=22=4
Якщо n=2 (дві змінних), то N=22=4; М=24=16
Таблиці істинності:
для одного аргументу існують 4 різні логічні функції
-
№
набору
Змінна
Логічні функції
А
F=0
F=1
F=
F=А
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
для двох змінних А і В існує N=22=4 набори і М=16 логічних функцій.
|
№ набору |
змінні |
Логічні функції |
||||||||||||||||
|
А |
В |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
|
0 1 2 3 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 0 0 0 |
1 1 1 1 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 0 0 1 |
1 1 1 0 |
0 1 1 1 |
1 0 0 0 |
1 1 0 1 |
0 0 1 0 |
1 0 1 1 |
0 1 0 0 |
1 0 0 1 |
0 1 1 0 |
1 1 0 0 |
1 0 1 0 |
1)
F=0
5)
F=А
B
9)
F=A
B
13)
F=A~B
2)
F=1
6)
F=A│B
10)
F=A
B
14)
F=A
B
3)
F=A
7)
F=A
B
11)
F=B
A
15)
F=
4)
F=B
8)
F=A
B
12)
F=B
A
16)
F=
Розглянуті 16 логічних функцій для двох змінних носять назву елементарних. Це ті функції, на основі яких будується алгебра логіки і її застосування в науці і техніці. Серед цих 16 функцій є базисні, за допомогою яких одержують інші функції.
Базисні:
1/ F=1
2/ F=0
3/ F=A
4/ F=A→B (інверсія)
5/
F=
6/
F=
Для елементарних функцій існує ряд важливих формул, які перевіряються в таблицях істинності:
1)
Правило Де Моргана:
=
-
А
В
А
В
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
2)
Правило Де Моргана:
=
3)
A
B=
B
4)
A~B=
(
)(
)
У разі коли одним з аргументів є F=1, або F=0, то справедливі слідуючи співвідношення:
-
№ п/п
X і 1
X і 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Співвідношення для аргументів Х1 і Х2:
-
№
п/п
Х1=Х2=Х
Х1=Х; Х2=
1
2
3
4
5
6
7
I
│
=1