- •Розділ 1. Теорія множин.
- •1. Основні означення теорії множин.
- •2. Дії над множинами.
- •3. Алгебра множин.
- •Розділ 2. Вектори, відношення, відображення.
- •1. Вектори і прямий добуток множин.
- •2. Відношення.
- •Відображення.
- •4. Функції.
- •5. Перетворення.
- •6. Сукупність підстановок множини м: s(м).
- •7. Алгебраїчні операції та системи.
- •Розділ 3. Алгебра логіки.
- •1. Висловлення.
- •2. Основні логічні операції.
- •3. Основні закони алгебри логіки.
- •4. Логічна функція.
- •5. Бульові функції.
- •Розділ 4. Диз’юнктивні та кон’юнктивні нормальні форми.
- •1. Диз’юнктивні нормальні форми.
- •1) Елементарний добуток
- •2) Диз`юнкція різних елементарних добутків відносно
- •3) Тотожна хибність.
- •2. Досконала диз’юнктивна нормальна форма. (дднф)
- •3. Скорочена днф.
- •1. Імпліканта.
- •2. Скорочена днф.
- •4. Мінімізація логічних функцій методом Квайна.
- •5. Кон’юнктивні нормальні форми.
- •6. Мінімізація логічних функцій за допомогою таблиць Вейча.
- •7. Мінімізація неповністю визначених логічних функцій.
- •Розділ 5. Теорія графів.
- •1. Основні поняття.
- •2. Способи задання графів.
- •3. Маршрути, ланцюги, цикли.
- •4. Ейлерів граф.
- •5. Дерево.
- •Чотирикутники
- •6. Транспортні мережі.
- •1. Поняття алгоритму.
- •2.Основні вимоги до алгоритмів.
- •3. Властивості алгоритмів.
- •4. Машина Тьюринга.
4. Мінімізація логічних функцій методом Квайна.
Метод мінімізації логічних функцій базується на теоремі Квайна:
якщо в ДДНФ логічної функції F виконати всі операції неповного склеювання, потім усі операції поглинання, то буде одержана скорочена ДНФ цієї функції, тобто диз’юкція всіх її простих імплікант.
Особливістю метода мінімізації за Квайном є те, що його робота починається після подання в ДДНФ логічної функції, що мінімізується. Тому, якщо функція задана в довільній ДНФ, то її спочатку слід перетворити в ДДНФ шляхом її розгортання. Потім необхідно виконати слідуючи кроки:
-
у ДДНФ функції F=F(x1, x2, …, xn) здійснюються всі операції неповного склеювання конституент одиниці.
Неповне склеювання викликано тим, що кожна конституента одиниці водночас може склеюватися з кількома іншими. У результаті одержують імпліканти, що мають по (n-1) змінних. При цьому можливе також отримання і простих імплікант.
-
Відбувається поглинання імплікантами всіх конституент одиниці, які беруть участь у неповному склеюванні. Конституенти одиниці, що беруть участь в операціях неповного склеювання, обов’язково поглинаються, бо вони містять у своєму складі імпліканти, які мають після першого склеювання по (п-1) літер і містяться у функції F.
Конституенти одиниці, які не були задіяні в операціях склеювання, не можуть поглинатися, бо вони є простими імплікантами з п змінними.
-
Здійснюються операції неповного склеювання і поглинання імплікант з (п-1) змінною, одержаних на першому кроці склеювання. Ця процедура повторюється доти, поки операції неповного склеювання залишаються можливими. Отримана в результаті ДНФ буде скороченою.
Результати склеювання записують в таблицю:
-
Номери склеюваних
конституент
Імпліканта
Склеювана змінна
Якщо серед простих імплікант, що містяться в скороченій ДНФ функції, є такі, що входять до початкової функції F, то решта простих імплікант вважаються зайвими.
Означення. Диз’юнкція простих імплікант, жодна з яких не є зайвою, називається тупиковою ДНФ логічної функції.
Тупикових функцій може бути декілька. Тоді виникає завдання пошуку такої тупикової логічної функції, яка б мала мінімальну кількість літер. Така функція називається мінімальною ДНФ.
Деякі логічні функції можуть мати кілька мінімальних ДНФ, що містять однакову кількість літер. У цьому випадку вибирається мінімальна ДНФ, яка більш придатна для технічної реалізації в цифровому пристрої або програмі.
Імплікантні матриці.
З метою визначення мінімальної ДНФ використовуються імплікантні матриці
-
№
п/п
Проста
імпліканта
Конституента одиниці
1
2
3
4
5
6
….
1
2
3
4
5
…
Це таблиця, по горизонтальних входах якої записуються прості імпліканти цієї функції, одержані зі скороченої ДНФ; по вертикальних входах записуються конституенти одиниці, які входять в задану функцію. Якщо імпліканта є власною частиною деякої конституенти одиниці, то клітинка імплікантної матриці, що відповідає цій імпліканті і конституенті одиниці, відмічається хрестиком. Щоб одержати мінімальну ДНФ заданої функції, треба знайти мінімальну кількість імплікант, які разом накриють хрестиками всі стовпці імплікантної матриці.
Приклад. Знайти мінімальну ДНФ логічної функції F=F(x1, x2, x3, x4),яка дорівнює одиниці на наборах з номерами 1, 3, 5, 7, 14, 15 і дорівнює нулю на решті наборів.
Подамо функцію в ДДНФ:
-
виконаємо всі можливі неповні склеювання першого члена, потім другого, третього і т. д.
Проведемо всі можливі операції поглинання конституент одиниці і результат запишемо у таблицю (перше склеювання)
№ п/п |
Номер склеюваної конституенти одиниці |
Імпліканта |
Склеювана змінна |
|
1. |
1-2 |
|||
2. |
1-3 |
|||
3. |
2-4 |
|||
4. |
3-4 |
|||
5. |
4-6 |
|||
6. |
5-6 |
З таблиці видно, що всі конституенти одиниці поглинаються імплікантами, отриманими після склеювання. В результаті отримуємо таку функцію:
-
проведемо друге склеювання конституент одиниці:
№ п/п |
Номер склеюваної конституенти одиниці |
Імпліканта |
Склеювана змінна |
1. |
1-4 |
||
2. |
2-3 |
До цього виразу операції неповного склеювання і поглинання виконати не можна, і тому він є скороченою ДНФ заданої логічної функції.
3) будуємо імплікантну матрицю для одержаної функції F.
-
№
п/п
Проста
імпліканта
Конституента
1
2
3
4
5
6
1
×
×
×
×
2
×
×
3
×
×
З таблиці випливає, що до мінімальної форми має обов’язково увійти імпліканта , бо лише вона накриває хрестиками перший, другий і третій стовпці імплікантної матриці. Обов’язково має бути вибрана імпліканта , бо вона накриває п’ятий і шостий стовпці. При виборі цих двох імплікант усі стовпці залишаються перекритими, і тому імпліканта є зайвою. Отже : .