Розділ 2. Вектори, відношення, відображення.

План.

1. Вектори і прямий добуток множин.

2. Відношення. (*)

3. Відображення. (*)

4. Функції.

5. Перетворення. (*)

6. Сукупність підстановок множини М. (**)

7. Алгебраїчні операції та системи. (***)

1. Вектори і прямий добуток множин.

Математика вивчає властивості певних множин елементів, відношень між ними. Найбільш поширеними і важливими для математики є відношення між парами і трійками елементів.

Якщо елементи скінченної множини як-небудь перенумеровані, то кажуть, що дана множина упорядкована. Одну і ту ж множину можна упорядкувати різними способами. Наприклад: множину учнів у класі можна впорядкувати

- по алфавіту;

- по росту;

- по вазі і т. д.

Нехай дані множини Х_1, Х₂, …Х_n. Кортежем (вектором) довжини п складеним з елементів цих множин називається скінченна послідовність α = (х₁, х₂, …х_n), де х_і є Х_і; х_і називається координатою кортежу α.

Кортеж – це упорядкований набір елементів.

Координати нумерують зліва направо.

Довжиною кортежу називається кількість його координат.

Кортеж позначають (А,В), де на першому місці елемент множини А, на другому місці елемент множини В.

Приклад: А={а,b,с}, В={1,2}

α ={(а;1),(а;2),( b;1),( b;2),(с;1),(с;2)}

Будь-яке слово є кортеж складений з літер. Будь-яке натуральне число – це кортеж складений з цифр.

Кортежі довжини 2 (2 елементи) називаються парами; довжини 3 –трійками; довжини n – енками.

Два кортежі рівні, якщо вони мають однакову довжину і їх відповідні координати рівні: , якщо

Приклади: а) (1; 2; 3)=( ; ; )

б) (1;2;3)≠(3;1;2)

Порожній кортеж – це кортеж , що не має жодної координати, його довжина дорівнює нулю.

Чим відрізняється кортеж від множини:

1) у множині порядок елементів може бути різний, а кортежі різні якщо не співпадає порядок; {а; b;с}={ b;а;с}

(а; b;с)≠(а;с; b)

2) у множині всі елементи різні, а у кортежі вони можуть повторюватись: {а; b;с}, (а;b;с;b)

Приклади: 1) слово «підручник» – це кортеж довжини 9: (п;і;д;р;у;ч;н;и;к)

2)число 134 – це кортеж довжини 3: (1;3;4)

Утворення впорядкованих m-ок (кортежів довжини m) пов’язане з операцією над множинами, яку називають знаходженням прямого або декартового добутку множин.

Розглянемо випадок, коли m=2.

Прямим (декартовим) добутком двох множин А і В називається множина всіх пар (а; b) таких, що а є А, b є В :

А × В ={(а; b)│ а є А, b є В}

А×В =Ø , якщо А =Ø, або В = Ø , або А =В = Ø

Прямим добутком множин називається множина всіх кортежів довжини n виду , таких, що .

Прямий добуток А×А позначають А² і називають прямим квадратом множини А.

Зауваження: А×В ≠ В×А.

Прямим добутком трьох множин А, В, С називається множина всіх кортежів (а, b, с) таких, що а є А, b є В, с є С.

А× В ×С = {(а, b, с)| а є А, b є В, с є С}.

А × А × А =А³ –прямий куб множини А.

Якщо множини А, В, С мають потужність m, n, k , то потужність множини А×В×С дорівнює добутку потужностей цих множин.

|А| =m, |В| =n, |С| = k, то |А ×В× С|= m · n · k.

Якщо R- множина дійсних чисел ,то R² =R×R. Геометричною ілюстрацією прямого квадрата є множина точок прямокутної системи координат на площині (х;у)

R×R×R=R³, геометрична ілюстрація – це множина точок тривимірного простору.