2. Дії над множинами.

1. Об’єднанням множин А і В називається множина, яка складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать хоча б одній з множин А або В.

Позначається:

Об’єднання множин можна виконувати з будь – якою кількістю множин:

Для об’єднання множин справедливі слідуючи властивості:

1. комутативна:

2. асоціативна:

3. =А

4. ідемпотентність:

5. тоді і тільки тоді, коли

Діаграми (круги) Ейлера – Венна - це графічне зображення множин.

(Д. Венн – англійський математик, 1834-1932р.р. Л. Ейлер – швейцарський математик, 1707-1783р.р.)

Приклад:

2. Перетином множин А і В називається множина, яка складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать як множині А так і множині В (спільні елементи множин).

Позначається:

Дві множини А і В називаються непересічними, якщо .

Дві множини А і В називаються пересічними, якщо .

Перетин множин можна виконувати з будь – якою кількістю множин:

Для перетину множин справедливі слідуючи властивості:

1. комутативна:

2. асоціативна:

3. =

4. ідемпотентність:

5. тоді і тільки тоді, коли

Приклад:

3. Різницею множин А і В називається множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать множині А і не належать множині В.

Позначається:

Множина

Приклад :

4. Універсальна множина – це найбільша множина U, для якої вся решта множин є підмножинами.

На діаграмах Ейлера – Венна універсальну множину позначають прямокутником:

Для універсальних множин справедливі слідуючи співвідношення: ,

5. Доповненням множини А до універсальної множини U називається така множина, що визначається співвідношенням

Позначається:

Множини і не мають спільних елементів, тому , . Очевидно, що множина А є доповненням до , а тому .

За допомогою доповнення множин можна також у зручному вигляді подати різницю множин .

Теорема:

Доведення: так як , то .

3. Алгебра множин.

Алгебра множин являє собою сукупність тотожностей (рівностей).

Для будь – яких підмножин А, В і С універсальної множини U дійсними є такі рівності:

1. - комутативний закон

2. - асоціативний закон

3. - дистрибутивний закон

4. =А

5. ()

1^’) - комутативний закон

2’) - асоціативний закон

3’) - дистрибутивний закон

4’)

5’) 

Кожну з наведених рівностей можна довести, показавши, що множина, яка стоїть з одного боку знака рівності, включена до множини, що стоїть з іншого боку від цього знака рівності.

Доведемо рівність 3:

Доведення складається з двох частин:

1. Нехай , тоді або

а) якщо , то і , а отже

б) якщо , то і , а отже і , тому

2. Нехай , тоді і , тому або ( і ), а значить .

У загальному вигляді рівності 3 і 3’ можна подати у такому вигляді:

Для довільних підмножин А, В універсальної множини U справедливі такі рівності:

1. якщо і , то В=.

2. =U

3. - закон ідемпотентності

4. 

5. - закон поглинання

6. - закон де Моргана

7. якщо і , то

1’) якщо і , то .

2’) 

3’) - закон ідемпотентності

4’) =

5’) - закон поглинання

6’) - закон де Моргана

7’) якщо  і , то

Рівність алгебри множин, отримана з іншої рівності через заміну всіх входжень , , на ,  на називається двоїстою по відношенню до вихідної рівності.

Для будь – якого істинного твердження , що формується в термінах та 

двоїсте по відношенню до цього речення є також істинним. З цього випливає, що якщо є деяке твердження 1 – 7, то відповідне йому твердження 1’ – 7’ випливає на підставі двоїстості. Це дозволяє спрощувати різні складні вирази алгебри множин.

Узагальнення операцій над множинами:

1. перетин множин: при ;

2. об’єднання множин: при ;

3. формули де Моргана: , .

Контрольні запитання.

1. Що таке множина? Наведіть приклади різних множин.

2. Що таке скінченна та нескінченна множини? Наведіть приклади.

3. Яка множина називається порожньою?

4. Що таке підмножина?

5. Які є способи задання множин?

6. Що називається потужністю множини?

7. Що називається булеаном множини?

8. Що називається об’єднанням множин? (*)

9. Що називається об’єднанням множин? (*)

10. Що називається перерізом множин? (*)

11. Що називається різницею множин? (*)

12. Сформулювати і записати закони алгебри множин. (**)

Література:

О.А. Борисенко. Лекції з дискретної математики: навчальний посібник для вузів. Суми, СумДУ, 1999р. лекції 2 - 4

Ю.В. Нікольський, В.В.Пасічник, Ю.М. Щербина. Дискретна математика. Підручник для вищих навчальних закладів. Київ. 2007р. розділ 1. п. 1.12 – 1.13