7. Мінімізація неповністю визначених логічних функцій.

В цифрових автоматах досить часто є заборонені слова, які ніколи не надходять на вхід цього автомата. Внаслідок цього їх довільно можна позначити 0 або 1, задаючи тим самим відповідну функцію. Якщо алфавіт літер цих слів складається з 0 і 1, то маємо логічну функцію .

Означення. Логічна функція f, яка визначена на всіх наборах змінних, називається повністю визначеною.

Означення. Логічна функція f, яка визначена не на всіх наборах змінних, називається неповністю (частково) визначеною.

Нехай є неповністю визначена логічна функція f, яка невизначена p < 2ⁿ наборах змінних z₁, z₂,…, z_n, тоді її можна доповнити 2^p способами до повністю визначеної логічної функції .

Означення. Логічна функція , значення якої збігаються із значеннями функції на всіх наборах, на яких остання визначена, називається еквівалентною функції f (цих функцій і буде 2^р).

Серед цих функцій , еквівалентних f , знайдеться одна або декілька таких, які мають мінімальну кількість літер.

Покажемо на прикладі відшукання таких функцій.

Приклад. Знайти мінімальну диз’юнктивну нормальну форму логічної функції . Відомо, що функція не визначена на 4 наборах: 0110, 1011, 0011, 0010. Цим наборам відповідають конституенти одиниці: (заборонені слова на вході цифрового апарата), які в силу невизначеності функції f на цих чотирьох наборах можуть дорівнювати на них як 1, так і 0.

Будуємо таблицю Вейча для цієї функції.

Заборонені добутки змінних, які можуть набирати значення, як 1, так і 0 (заборонені слова) залишаються порожніми клітинками, їх р=4. У цих клітинках можуть бути подані одиниці і нулі 2^р=2⁴=16 способами.

A

1 A	0	0	0
0	0		0
	0
1	0	0	1

Виберемо такий розподіл одиниць і нулів, який мінімізує функцію f :

1. якщо мінімізуємо в ДНФ, то доповнюємо порожні клітинки одиницями

A

1 A	0	0	0
0	0	0	0
1	0	0	1
1	0	0	1

Результуюча функція в ДНФ матиме вигляд:

б)якщо мінімізуємо в КНФ, то доповнюємо порожні клітинки нулями і тоді результуюча функція матиме вигляд:

1 A	0	0	0
A 0	0	0	0
0	0	0	0
1	0	0	1

Контрольні запитання.

1. Яка формула алгебри висловлень називається здійсненною, нездійсненною?

2. Що називається логічним законом?

3. Сформулювати закон тотожності, суперечності, виключеного третього.

4. Яка логічна формула називається попередньою формою?

5. Що називається диз’юнктивною нормальною формою?

6. Що називається елементарним добутком?

7. Що називається конституантою одиниці?

8. Що називається досконалою диз’юнктивною нормальною формою?

9. Які перетворення треба виконати, щоб отримати ДДНФ? (*)

10. Яка ДНФ називається скороченою? Як її отримати? (*)

11. Сформулювати теорему Квайна?

12. Яка ДНФ називається тупиковою?

13. Алгоритм мінімізації логічних функцій по методу Квайна. (**)

14. Що називається конституентою нуля?

15. Яка формула називається кон’юнктивною нормальною формою?

16. Яка КНФ називається досконалою?

17. Алгоритм мінімізації логічних функцій за допомогою таблиць Вейча? (***)

18. Яка логічна функція називається неповністю визначеною?

19. Алгоритм мінімізації неповністю визначених логічних функцій? (***)

Література:

О.А. Борисенко. Лекції з дискретної математики: навчальний посібник для вузів. Суми, СумДУ, 1999р. лекції 14 - 20

М.М.Швець. Азбука математичної логіки. Київ. 1965р. розділ 3