5. Кон’юнктивні нормальні форми.

Логічна сума кількох різних змінних, взятих із запереченнями або без них називається елементарною сумою (елементарною диз’юнкцією).

Наприклад:

(Основні висловлення і їх заперечення є одночасно і елементарними добутками і елементарними сумами.)

Елементарна сума дорівнює нулю в єдиному випадку: коли змінним із запереченням присвоєна одиниця, а змінним без заперечення – нуль.

Елементарна сума хибна на наборі 101.

Для кожного набору значень змінних існує одна і лише одна їх елементарна сума, що дорівнює 0.

Конституентою нуля відносно основних висловлень називається «повна» елементарна сума відносно (тобто елементарна сума, яка містить усі букви )

Загальний вигляд конституенти нуля: , де

Для двох змінних можна утворити чотири конституенти нуля:

набори			конституенти нуля
N0 N1 N2 N3	0 0 1 1	0 1 0 1

Кожна конституента нуля хибна тільки на одному наборі.

Кількість конституент нуля визначається формулою 2ⁿ:

якщо n=2, то N=2²=4 конституенти;

якщо n=3, то N=2³=8 конституент.

Якщо на якомусь наборі конституента нуля хибна, то на всіх інших вона істинна.

Кон’юнктивною нормальною формою відносно основних висловлень називається формула кожного з трьох типів:

1. елементарна сума відносно ;

2. кон’юнкція різних елементарних сум відносно ;

3. тотожна істинність І (коли все скоротиться).

Приклад: КНФ

Щоб подати формулу в КНФ треба:

1. звести дану формулу до попередньої форми Р;

2. якщо формула Р містить диз’юнкції добутків, то застосовують ІІ дистрибутивний закон: і зводять формулу до добутку диз’юнкцій висловлень та їх заперечень;

3. якщо є неелементарні або однакові суми, то виконують послідовні скорочення:

• повторні доданки викреслюють:

• викреслюють доданки типу (закон виключеного третього).

КНФ називається досконалою, якщо всі її множники є конституентами нуля.

Якщо елементарна сума неповна, тобто містить дві (з чотирьох), то приєднуємо до неї два тотожно хибні доданки і застосовуємо ІІ дистрибутивний закон.

6. Мінімізація логічних функцій за допомогою таблиць Вейча.

Цифрові апарати для опису своєї роботи використовують логічні функції від п змінних F=F(x₁, x₂, …, x_n). При цьому змінна х_і може виявлятись більше одного разу. Тому число літер в запису логічної функції більше кількості змінних цієї функції. На практиці ставиться задача зменшення числа літер до мінімального значення – це задача мінімізації логічних функцій.

Універсальним методом мінімізації логічних функцій є метод Квайна, який придатний для функцій будь-якого числа змінних. Він зручний для реалізації в ЕОМ в алгоритмічній формі.

На практиці ставиться задача мінімізації функцій вручну для невеликого числа змінних. З цією метою були розроблені методи мінімізації логічних функцій у вигляді таблиць, які називають картами, діаграмами, таблицями.

Метод таблиць Вейча застосовується для функцій, які містять не більше п’яти змінних. В цьому випадку мінімізація здійснюється для функцій записаних в ДДНФ або ДКНФ.

Таблиця Вейча являє собою розкреслений прямокутник, який містить 2^п клітинки, в які заносяться:

• 1, якщо мінімізується функція, подана в ДДНФ;

• 0, якщо мінімізується функція, подана в ДКНФ.

Якщо функція подана в ДНФ (або КНФ), то її слід попередньо перетворити в ДДНФ (або ДКНФ).

Спочатку виконують розмітку таблиці: змінні х_і розміщують так по сторонах прямокутника, що кожна, взята окремо, змінна х_і накривала 2^п-1 клітинку (якщо п=3, то 2^3-1=4 клітинки). Для трьох змінних таблиця містить 2³=8 клітинок. Разом змінні х_і і повинні накривати 2^п клітинок (всі). Це можливо тоді, коли знаходяться на одному боці прямокутника. В кожній клітинці отримується логічний добуток п-змінних – конституенти одиниці. Число конституент одиниці дорівнює числу клітинок у таблиці. Важливою властивістю конституент одиниці є те, що ті з них, які стоять по краям рядків і стовпців відрізняються знаком заперечення в одній змінній. Це дозволяє здійснювати мінімізацію безпосередньо за таблицею.

Приклади . Знайти мінімальну ДНФ функції:

1. 

	1		1	1
	1	1		1

2. 

	1
	1			1
	1		1	1