§ 11.2. Силовые соотношения в передаче

Силовые соотношения в резьбовой паре передачи винт—гайка опре­деляются теми же формулами, что и в резьбовых соединениях (см. гл. 3). Момент М_р сил в резьбе равен

М_р = 0,5 Qd₂ tg(ψ+φ^’),

где Q — осевая сила; d₂ — средний диаметр резьбы; ψ — угол подъема резьбы; φ^’— приведенный угол трения (φ^’ = arctg f’ ; приведенный ко­эффициент трения f ' = f/cos α', где f— коэффициент трения скольже­ния; α' — половина угла профиля резьбы).

Для метрической резьбы α' = 30° , для трапецеидальной α' = 15°, для упорной α' = 3°, для прямоугольной α' = 0. Таким образом, момент сил в резьбе при прочих равных условиях будет наименьшим у прямо­угольной резьбы.

Для расчета передач скольжения с однозаходными винтами можно принимать f ≈ 0,1, что соответствует φ ≈ 6° .

В гл. 3 было показано, что если ψ < φ', то резьба, а следовательно, и передача винт—гайка, будет самотормозящей, т. е. при любой осевой силе Q относительное движение винта и гайки окажется невозможным.

Как известно из теоретической механики, КПД η_р резьбовой пары определяется по формуле

η_р = tg ψ / tg (ψ+φ^’).

Отметим, что с уменьшением угла подъема резьбы ψ КПД резьбо­вой пары уменьшается, и наоборот.

Кроме потерь в резьбе в передачах винт—гайка существуют потери, связанные с трением в опорах. Таким образом, общий КПД η передачи винт—гайка равен

η = η_p η_оп,

где η_оп — коэффициент, учитывающий потери в опорах (для ходовых винтов металлорежущих станков η_оп ≈ 0,92 , для домкратов и винтовых прессов η_оп ≈ 0,6).

Если на опорном торце трение скольжения заменено трением каче­ния, то потерями на опоре можно пренебречь. Для передач винт—гайка с трением качения в резьбе условно можно полагать коэффициент трения f ≈ 0,01.

§ 11.3. Расчет передачи винт—гайка

Чаще всего причиной выхода из строя передачи скольжения винт—гайка является износ резьбы. Кроме того, передача может вый­ти из строя в результате недостаточной прочности и устойчивости тела винта.

Основным критерием работоспособности передач скольжения яв­ляется износостойкость резьбы.

Расчет резьбы на износостойкость.

р_и = Q /(πd₂hz_в) ≤ ,

где d₂ — средний диаметр резьбы; h — рабочая высота профиля резьбы; z_в - число витков резьбы гайки; р_и, — расчетное и допускаемое среднее давление в резьбе (для пары сталь—бронза [р_и] = 8...13 МПа; для пары сталь—чугун [р_и] = 5...9 МПа; большие значения для закаленной стали или антифрикционного чугуна).

По вышеприведенной формуле выполняется проверочный расчет резьбы на износостойкость.

Введем понятия относительной высоты гайки ψ_н - H_г/ d₂ и отно­сительной рабочей высоты профиля резьбы ψ_н = h/p , где Н_г — высота гайки; р — шаг резьбы. Число витков гайки z_B = H_г/ p . После подстанов­ки этих выражений в формулу для проверочного расчета получим форму­лу для проектного расчета резьбы на износостойкость:

d₂ = ).

Для цельных гаек = 1,2...2,5; для составных и разъемных = 2,5...3,5 (большие значения для резьб меньших диаметров). Для стан­дартной трапецеидальной резьбы = 0,5; для упорной = 0,75; для треугольной = 0,541; прямоугольная резьба не стандартизована, для

нее принимают шаг р = 0,25d₂ .

Полученный расчетом средний диаметр резьбы заменяют ближай­шим стандартным значением и устанавливают остальные стандартные параметры резьбы винта и гайки.

Ход p_n резьбы обычно определяют кинематическим расчетом в зави­симости от заданной скорости υ поступательного движения и угловой скорости со винта или гайки по формуле

р_п ≈ 2πυ/ω .

Резьба, параметры которой определены из расчета на износо­стойкость, обычно имеет избыточный запас прочности на срез, по­этому проверка резьбы винта и гайки на эту деформацию обычно не производится.

Расчет винта на прочность. Этот расчет выполняется как прове­рочный. Так как тело винта одновременно подвергается сжатию (или рас­тяжению) и кручению, то, согласно энергетической теории, условие прочности винта записывается так:

σ_экв = ≤ .

Приближенно можно провести проверочный расчет винта на проч­ность по расчетной осевой силе _расч =l,3 (см. расчет затянутых болтов) по условию

σ_экв = 4 / (πd₁² ) ≤ .

Расчет винта на устойчивость. Этот расчет также выполняется как проверочный для работающих на сжатие длинных винтов. Условие ус­тойчивости имеет вид

σ_сж = 4 / (πd₁² ) ≤ .

Здесь φ — коэффициент продольного изгиба, зависящий от материа­ла и гибкости λ стержня (см. сопротивление материалов). Гибкость стержня определяется по формуле

λ = μl / I,

где μ — коэффициент приведения длины (для двухопорных винтов μ = 1; если опорной является гайка, то μ = 2); l — расчетная длина винта (для двухопорных винтов — расстояние между опорами; если опорой является гайка, то расстояние от середины гайки до свободного конца); i — радиус инерции сечения (для винта i = d₁/ 4).

Допускаемое напряжение [σ_сж] = σ_т/[s], где [s] = 2...4 — допускае­мый коэффициент запаса прочности.

Расчет гайки. Высота гайки H_r = ψ_Hd₂; наружный диаметр D опре­деляется из условия ее прочности на растяжение и кручение:

σ_экв =4 / π(D² - d² ) ≤ .

где ; d— наружный диаметр резьбы. Отсюда

D = .

Пример 11.1. Рассчитать основные параметры ручного домкрата (см. рис. 11.7) грузоподъемностью = 50 кН. Длина винта l₀ = 500 мм, его материал — сталь 45, материал гайки — серый чугун СЧ18. Резьба трапецеидальная.

Решение. Расчет винта. Для обеспечения самоторможения принимаем однозаходную резьбу. По условию износостойкости резьбы определяем ее средний диаметр d₂, приняв ψ_н = 2,5; ψ_h = 0,5; допускаемое давление в резьбе = 6 МПа:

d₂ = ) = ) = 0,046 м = 46 мм.

Принимаем стандартную резьбу винта с параметрами: наружный диаметр d = 50 мм, внутренний диаметр d₁ = 41 мм, средний диаметр d₂ = 46 мм, шаг резьбы р = 8 мм.

Определяем угол φ, приняв коэффициент трения f = 0,1 (угол трения φ' = 6°)

tgψ = p/(πd₂)= 8/(π · 46) = 0,0546; ψ ≈ 3° .

Условие самоторможения соблюдено, так как φ' > ψ .

Проверка винта на прочность. Принимаем допускаемое напряжение на рас­тяжение [σ_р] = 90 МПа:

σ_экв = 4 / (πd₁² ) = 4·1,3·50·10³ / (π·41² ·10^-6 ) = 48,6·10⁶ ПА =

= 48,6 МПа < [σ_р] = 90 МПа.

Прочность винта обеспечена.

Проверка винта на устойчивость. Расчетная длина винта l (при высоте гай­ки Н_г = ψ_Hd₂ =2,5·46 = 115 мм) равна

l = l₀ – H_г / 2 = 500 -115/2 ≈ 443 мм.

Тогда гибкость винта (при μ = 2; i = d₁/4 = 41/4 = 10,25 мм) будет равна

Λ = μl / i = 2 · 443/10,25 ≈ 85.

По таблице, известной из сопротивления материалов, в зависимости от ма­териала и гибкости находим коэффициент продольного изгиба φ = 0,6 . Тогда, приняв [σ_сж] = σ_T / [s] = 360/3 = 120 МПа, будем иметь

σ_сж = 4 / (πd₁² ) = 4·50·10³ / (π·41² ·10^-6 ) = 37,4 · 10⁶ Па =

= 37,4 МПа < φ[σ_сж] = 0,6·120 = 72 МПа.

Устойчивость винта обеспечена.

Расчет гайки. Высота гайки определена ранее. Определим ее наружный диаметр D, приняв [σ_р] = 45 МПа, тогда:

D = =

= 0,066 м = 66 мм.

Принимаем D = 70 мм.