§ 7.7. Расчет цилиндрических передач на прочность

Приведенная в этом параграфе методика расчета эвольвентных зуб­чатых передач в основном соответствует стандарту, но содержит некото­рые упрощения, которые не оказывают существенного влияния на результаты расчетов, и необходимы с точки зрения учебного процесса.

Расчет зубьев на контактную усталость. Контакт двух зубьев ци­линдрических зубчатых колес рассматривается как контакт по образую­щим двух цилиндров и, следовательно, является линейным контактом. Наибольшие контактные напряжения (рис. 7.24) возникают при сопри­косновении зубьев в полюсе (в зоне однопарного зацепления прямозубых передач).

Максимальные контактные напряжения при линейном контакте оп­ределяются по известной нам из гл. 5 формуле Герца, которая для стальных колес с коэффициентом Пуассона υ = 0,3 будет иметь вид

σ_н = 0,418 ,

где q — нормальная нагрузка на единицу длины контактных линий (для прямозубых передач длина контактной линии равна рабочей ширине венца); Е _пр – приведенный модуль упругости материалов колес; — приведенный радиус кривизны зубьев.

ТАБЛИЦА 7.2

Степень точности	Твердость поверхностей зубьев, НВ		Коэффициент КНν при окружной скорости, м/с
			1	2	4	6	8	10
7	а	≤ 350	1,04/1,01	1,07/1,03	1,14/1,05	1,21/1,06	1,29/1,07	1,36/1,08
	б	> 350	1,03/1,00	1,05/1,01	1,09/1,02	1,14/1,03	1,19/1,03	1,24/1,04
8	а	≤ 350	1,04/1,01	1,08/1,03	1,16/1,05	1,24/1,06	1,32/1,07	1,40/1,08
	б	> 350	1,03/1,01	1,06/1,01	1,10/1,02	1,16/1,03	1,22/1,04	1,26/1,05
9	а	≤ 350	1,05/1,01	1,10/1,03	1,20/1,05	1,30/1,07	1,40/1,09	1,50/1,12
	б	> 350	1,04/1,01	1,07/1,01	1,13/1,02	1,20/1,03	1,26/1,04	1,32/1,05

ТАБЛИЦА 7.3

Степень точности	Твердость поверхностей зубьев, НВ		Коэффициент КFν при окружной скорости, м/с
			1	2	4	6	8	10
7	а	≤ 350	1,08/1,03	1,16/1,06	1,33/1,11	1,50/1,16	1,62/1,22	1,80/1,27
	б	> 350	1,03/1,01	1,05/1,02	1,09/1,03	1,13/1,05	1,17/1,07	1,22/1,08
8	а	≤ 350	1,10/1,03	1,20/1,06	1,38/1,11	1,58/1,17	1,78/1,23	1,96/1,29
	б	> 350	1,04/1,01	1,06/1,02	1,12/1,03	1,16/1,05	1,21/1,07	1,26/1,08
9	а	≤ 350	1,13/1,04	1,28/1,07	1,50/1,14	1,72/1,21	1,98/1,28	1,25/1,35
	б	> 350	1,04/1,01	1,07/1,02	1,14/1,04	1,21/1,06	1,27/1,08	1,34/1,09

Рис 7.24

Из свойств эвольвенты мы знаем, что центры ее кривизны лежат на основной окружности (см. рис. 7.3 и 7.4), следова­тельно, для пары зубьев (рис. 7.24) радиусы кривизны зубьев в точке касания будут

р₁ = 0,5d₁ sinα,

р₂ = 0,5d₂ sinα.

Если колеса косозубые, то радиусы кривизны зубьев оп­ределяются по размерам экви­валентных колес, следовательно,

р₁ = 0,5d₁ sinα / cos² β,

р₂ = 0,5d₂ sinα / cos² β.

Тогда, учитывая, что d₂ = d₁ u, где и — передаточное число, получим

1/p_пр = 1/р₁ + 1/р₂ = 2cos²β/(d₁sinα) + 2cos²β/(d₁иsinα) =

2(и + 1)cos²β / (d₁иsinα).

Нормальная нагрузка q на единицу длины контактных линий для косозубых колес с учетом неравномерности и динамичности нагрузки равна q = F_nK_HβK_Hν /l_Σ = w_Ht / (ε_α cosα) (так как сила нормального давления F_n = F_t / (cos α cos β), суммарная длина контактных линий l_Σ = ε_αb / cosβ), а

w_Ht = F_tK_HβK_Hν / b.

Подставляя полученные выражения 1/р_пр и q в формулу Герца и за­меняя произведение sinα cosα на 0,5 sin2α , получим

σ_H = 0,418 .

Введем обозначение Z = 0,418 —коэффициент, учитывающий геометрию передачи, свойства материала и коэффициент торцового перекрытия. В результате по условию нагрузочной способности σ_Н ≤ получаем формулу

σ_Н = Z ≤ ,

где — допускаемое контактное напряжение; Z ≈ 462·10³ Па^1/2 для прямозубых передач;

Z ≈ 376 10³ Па^1/2 для косозубых и шевронных пере, дач.

Так w_Ht = F_tK_HβK_Hν / b = 2T₁K_HβK_Hν /(bd₁), то окончательно имеем

σ_Н = Z ≤ .

При выводе формулы для проектного расчета необходимо умень­шить количество неизвестных величин, что достигается введением коэф­фициента ширины венца относительно диамеψ_bd = b₂/d_l. Тогда

σ_Н = Z ≤ .

Приравняв контактное напряжение σ_н допускаемому [σ_H], учитывая, что T₁ = Т₂/и, получим формулу для проектного расчета:

d₁ = K_d ,

где

K_d = .

При проектном расчете можно определять межосевое расстояние а, для чего вводится коэффициент ширины колеса по межосевому расстоя­нию ψ_ba = b/а и учитывается, что

d₁ = 2а/(и +1). После преобразования получим формулу

a = K_a (u+1) ,

где

K_a = .

Для предварительных расчетов прямозубых передач принимают

K_Hβ ≈ 1,3, К_d = 7700 Па^1/3, К_а = 4950 Па ^1/3.

Значения ψ_bd выбираются по табл. 7.4, после чего ψ_bа определяется по формуле

ψ_ba = 2ψ_bd / (u+1).

Большие значения — для постоянных нагрузок и жестких конструкций опор и валов.

После определения межосевого расстояния а из эмпирических соот­ношений определяют модуль и округляют его значение до стандартного.

При твердости рабочих поверхностей зубьев шестерни и колеса H₁ и H₂ ≤ 350 НВ принимают m = (0,01 ...0,02)а, при твердости зубьев шестерни H₁ > 45 HRC, и колеса H₂ ≤ 350 НВ принимают m = (0,0125...0,025)a, при твердости зубьев шестерни и колеса H₁ и H₂ > 45 HRC_э принимают m = (0,016...0,0315)a.

Таблица 7.4

Расположение колеса относительно опор	Твердость рабочих поверхностей зубьев
	H2 ≤ 350 НВ или H1 и H2 ≤ 350 НВ	H1 и H2 > 350 НВ
	Ψbd
Симметричное Несимметричное Консольное	0,8...1,4 0,6... 1,2 0,3... 0,4		0,4...1,0 0,3…0,5 0,2...0,25

Для обеспечения равной контактной и изгибной прочности зубьев ориентировочное значение модуля при заданном межосевом расстоянии можно вычислить по формуле

m_n = K_ma ,

где K_ma — вспомогательный коэффициент (для прямозубых передач K_ma = 1,4; Для косозубых при ε_β ≤ 1 К_та =1,1; для косозубых при ε_β > 1 и шевронных передач К_ma = 0,85); Y_F1 — коэффициент формы зуба шестерни, опреде­ляемый по табл. 7.7; [σ_F1] — допускаемое напряжение изгиба для шестерни.

Основные параметры (межосевые расстояния а, номинальные передаточные числа u, коэффициенты ширины колес ψ_Ьа) цилиндрических передач для редукторов регламентированы ГОСТом (см. табл. 7.5 и 7.6).

ТАБЛИЦА 7.5

Передаточные числа
1-й ряд 2-й ряд	1,0 ----	--- 1,12	1,25 ---	--- 1,4	1,6 ---	--- 1,8	2,0 ---	--- 2,24	2,5 ---	--- 2,8
1-й ряд 2-й ряд	3,15 ---	--- 3,55	4,0 ---	--- 4,5	5,0 ---	--- 5,6	6,3 ---	--- 7,1	8,0 ---	--- 9,0	И т.д. до 12,5

ТАБЛИЦА 7.6

Межосевое расстояние а, мм
1-й ряд 2-й ряд	40 ---	50 ---	63 ---	80 ---	100 ---	125 ---	--- 140	160 ---	--- 180	200 ---
1-й ряд 2-йряд	--- 225	250 ---	--- 280	315 ---	--- 355	400 ---	--- 450	500 ---	--- 560	630 --- И т.д. до 2500

Примечание. В табл. 7.5 и 7.6 1-й рад следует предпочитать 2-му.

Стандартные значения ψ_ba : 0,1; 0,125; 0,16; 0,2; 0,25; 0,315; 0,4; 0,5; 0,63; 0,8; 1,0; 1,25.

Учитывая возможное осевое смещение зубчатых колес при сборке передачи, ширину венца шестерни принимают на несколько миллиметров большей, чем ширину венца колеса.

Расчет зубьев на усталость при изгибе. С точки зрения прочности зубьев на изгиб наиболее опасен момент, когда зуб входит в зацепление или выходит из него, а сила нормального давления приложена к верши­не зуба (рис. 7.25). При расчетах на изгиб зуб рассматривается как консольная балка, жестко защемленная одним концом, для которой справедлива гипотеза плоских се­чений. Кроме того, полагаем, что вся на­грузка F_n воспринимается только одним зубом, и пренебрегаем силами трения, что дает возможность считать силу F_n направ­ленной по общей нормали к профилям со­прикасающихся зубьев. Так как зуб своей вершиной входит в зацепление не на межо­севой линии, то угол, который составляет линия давления с перпендикуляром к оси симметрии зуба, будет немного больше угла зацепления, но этой разницей пренебрегаем и полагаем, что α' = α .

Перенесем силу F_n на ось симметрии зуба и разложим ее на две взаимно перпендикулярные составляющие F_t^′ и F_r^′ , одна из которых будет изгибать зуб, а вторая — сжимать. На рис. 7.25 показаны эпюры напря­жений изгиба и сжатия.

Из практики известно, что усталостные трещины (рис. 7.20, а) возни­кают у основания зуба в зоне растянутых волокон. Это происходит потому_; что основание зуба является местом, где возникают наибольшие на­пряжения изгиба и концентрация напряжений; последнее будем учиты­вать, вводя в расчеты теоретический коэффициент концентрации напря­жений К_t.

Напряжениями сжатия (сравнительно небольшими) будем пренебре­гать, так как на растянутой стороне зуба (где возникают усталостные трещины) суммарные напряжения равны разности напряжений изгиба и сжатия, следовательно, расчет только по напряжениям изгиба даст неко­торое увеличение запаса прочности.

Напряжения изгиба σ _f в опасном сечении 1—1 зуба прямозубого ко­леса вычисляются по формуле

σ_F = M_и / W = 6F_t' l / (bs²).

Заменим силу F_t^′ окружной силой F_t =2T/d (такая замена даст в расчетах отклонение в сторону увеличения запаса прочности, так как F_t >F_t^′) и введем в расчет теоретический коэффициент концентрации напряжений К_Т, коэффициент неравномерности нагрузки K_Fβ, и коэффи­циент динамичности нагрузки K_Fv, тогда условие прочности прямого зуба на изгиб будет иметь вид

σ_F = F_t K_Fβ K_{Fν ≤ ,}

где [σ_F] — допускаемое напряжение на изгиб.

Размеры l и s выразим через модуль зуба, от которого они зависят: l = μm, s = λm , тогда l/s² = μ/(λ²m). Подставив это выражение в пре­дыдущую формулу и заменив Y_F = 6K_T μ/λ² ,

w_Ft = F_t K_Fβ K_Fν / b, получим формулу для проверочного расчета прямозубых колес

σ_F = Y_Fw_Ft /m ≤ [σ_F],

где Y_F — коэффициент формы зуба, зависящий только от числа зубьев и вбираемый по табл. 7.7; параметр w_Ft = 2T₁ K_Fβ K_Fν / (d₁b).

z, zu	17	20	25	30	40	50	60	И более
YF	4,26	4,09	3,90	3,80	3,70	3,66	3,62	3,60

У косозубых колес длина зуба больше, чем у прямозубых, поэтому в расчетную формулу вводится коэффициент Y_β, учитывающий наклон линии зуба, причем

Y_β = 1-β^o / 140,

либо более точно (по новому ГОСТу),

Y_β = 1- ε_β ≥ 0,7;

где β— угол наклона; ε_β — коэффициент осевого перекрытия.

Формула для проверочного расчета косозубых колес имеет вид

σ_F = Y_FY_β w_Ft /m_n ≤ [σ_F],

причем коэффициент формы зуба Y_F подбирается по табл. 7.7 по эквива­лентному числу зубьев z_ν; т_n — нормальный модуль.

Основным видом проектного расчета закрытых передач с низкой и средней твердостью зубьев является расчет на контактную усталость активных поверхностей зубьев, а расчет на усталость зубьев при изгибе применяется как проверочный.

Параметры открытых передач, а также закрытых с высокой твер­достью активных поверхностей зубьев (H > 50 HRC_э, их нагрузочная способность лимитируется изгибной прочностью) определяют из расчета зубьев на изгиб, причем основным расчетным параметром является нор­мальный модуль. Формула для проектного расчета на изгиб имеет вид

m_n = K_m ,

где К_т = 1,4 для прямозубых; К_т = 1,12 для косозубых (при ε_β > 1) и шеврон­ных передач; для косозубых при ε_β < 1 К_т = 1,25 (расчет ведется для шестерни).

Для обеспечения одинаковой долговечности ведущего и ведомого колес шестерню делают из более прочного материала, но прочность зуба также зависит от его формы. Поэтому сравнительную оценку прочности зубьев при изгибе можно провести по отношению [σ_f] / Y_F для ведущего я ведомого колес, а проверочные расчеты ведут по колесу, для которого это отношение меньше.

При проектном расчете на изгиб задаются числом зубьев шестерни z₁ (для открытых передач z₁ = 17...22).