7.4.4. Перевірка значущості коефіцієнтів множинної функції регресії
Оцінка значущості коефіцієнтів проводиться незалежно для кожного з них і здійснюється в наступній послідовності:
визначається середня квадратична помилка коефіцієнта регресії
,
(7.33)
де
-
дисперсія параметра оптимізації;
визначається певний інтервал значення коефіцієнта регресії
;
,
(7.34)
де t - критерій Стьюдента при рівні значущості 0,05 (певній ймовірності 0,95) і степені свободи ν = 8-1 = 7. t0,05;7 = 2,26 (додаток 2).
Коефіцієнт
значущий, якщо його абсолютна величина
більше певного інтервалу (
>
).
=
0,975 ;
=
2,30 ;
=
2,06 ;
=
4,87 ;
=
1,24 ;
=
2,92 .
Перевірка значущості коефіцієнтів регресії показала, що всі коефіцієнти функції відгуку першого і другого параметрів незначущі, крім вільного члена. Це пояснюється близькістю області оптимуму. Отже, можна обмежитись інтерполяційною формулою, яка показує вплив обраних чинників на вихід та органолептичну оцінку виробів. У функції відгуку третього параметра оптимізації значущий коефіцієнт тільки при першому чинникові (температурі).
7.4.5. Інтерпретація результатів експерименту
Адекватна модель, якою ми володіємо, має вигляд поліному першого степеня. Коефіцієнти поліному є частинними похідними функції відгуку за відповідними змінними величинами. Їх геометричний сенс - тангенси кутів нахилу гіперплощини до відповідної осі. Більший за абсолютною величиною коефіцієнт відповідає більшому куту нахилу і, отже, більш значному зміненню параметра оптимізації при зміненні цього чинника.
Про характер впливу чинників говорять знаки коефіцієнтів. Інтерпретація знаків при оптимізації залежить від того, шукаємо ми максимум чи мінімум функції відгуку. Якщо Y → тах, то збільшення значень всіх чинників, коефіцієнти яких мають знак плюс, сприятливо, а тих, що мають знак мінус - несприятливо. Якщо ж Y → тіп, то, навпаки, сприятливе збільшення значень всіх чинників, знаки коефіцієнтів яких негативні.
Чинники, коефіцієнти яких незначущі, звичайно не інтерпретуються. Можна сказати тільки, що при даних інтервалах варіювання та помилці відтворюваності вони не мають значного впливу на параметр оптимізації.
Особливу увагу доводиться приділяти ефектам взаємодії чинників.
Взаємодія двох чинників: якщо ефект взаємодії має позитивний знак, то при Y → тах потрібне одночасне збільшення чи зменшення значень чинників, а при Y → тіп чинники повинні одночасно змінюватись у різних напрямках; якщо ефект взаємодії має негативний знак, то при Y → тах чинники повинні одночасно змінюватись в різних напрямках, а при Y → тіп потрібне одночасне збільшення або зменшення чинників.
Взаємодія трьох чинників: цей ефект може мати знак плюс, якщо негативні знаки будуть у парної кількості чинників (нуль або будь-яких два); знак мінус буде, якщо непарна кількість чинників має знак мінус (всі три або будь-який один). Це правило поширюється на взаємодії будь-яких порядків.
Виходячи з вище викладеного та аналізуючи отримані функції відгуку (7.22 – 7.30), можна дійти такого висновку:
Для збільшення виходу розігрітих виробів сприятливе підвищення температури, збільшення кількості води і жиру, які додаються перед розігріванням, і у випадку розігрівання їх без попереднього розморожування. (Усі коефіцієнти при змінних х1, х2 та х3 мають знак «+», коефіцієнт при х4 – знак «−»).
Результати експериментів показали винятки для антрекотів: підвищення температури та збільшення кількості води знижують вихід. Найбільш значний вплив на вихід антрекотів має парний ефект води та жиру, що додаються. З врахуванням знаків при змінних х2 та х3 можна зробити висновок, що вихід антрекотів збільшиться, якщо додавати більше жиру і менше води. Термічний стан антрекотів перед розігрівом не впливає на вихід. Вплив цього якісного чинника досить значний для виходу січених виробів.
На органолептичну оцінку якості розігрітих виробів найбільш значний вплив має температура в жаровій шафі, особливо для антрекотів. Зниження температури призводить до зростання параметра оптимізації. Збільшення кількості води та жиру, що додаються, не сприяє одержанню виробів з високою органолептичною оцінкою. Органолептична оцінка розігрітих виробів буде вище, якщо їх розігрівати після попереднього розморожування (коефіцієнти при х4 із знаком «+»). Ефект впливу цього чинника для функції відгуку біфштекса січеного дорівнює нулю.
Як показує математична модель третього параметра оптимізації, на тривалість розігрівання виробів найбільш значно впливає температура у шафі, термічний стан виробів перед розігрівом і, для натуральних виробів, парний ефект води і жиру, які додаються. Знак мінус при х1 та х4 для натуральних виробів показує, що для прискорення процесу потрібно збільшувати температуру повітря і розігрівати вироби попередньо розморожені (так як Y → тіп, інтерпретація знаків протилежна інтерпретації при Y → тах).
Примітка: інтерпретація незначущих коефіцієнтів приведена для довідки.
У всіх математичних моделях третього параметра оптимізації коефіцієнти при першому чинникові (температурі) значущі. Отже, досягнення оптимуму тривалості процесу буде найбільш ефективно за цим чинником.
Так як три функції одночасно оптимізувати неможливо, для оптимізації процесу слід вибирати найбільш важливу функцію або переходити до єдиного (узагальненого) параметра. На наш погляд, в даному випадку більш доцільним є другий шлях. Узагальненим параметром оптимізації може бути комплексний показник, отриманий кваліметричними методами.
*
* *
Розглянуті деякі області застосування математико-статистичних методів постановки активних експериментів − ефективного засобу наукового пізнання.
Поданий в розділі конкретний приклад дає можливість ознайомитись із основними етапами вибору параметра оптимізації, чинників, які впливають на нього, складання плану проведення експерименту із використанням раціонального способу зменшення кількості дослідів, який не знижує статистичну достовірність одержаної інформації. Подана докладна методика обробки результатів експерименту, яка має свою специфіку, з метою одержання математичної моделі, придатної для "крутого сходження" до оптимуму або для аналізу впливу чинників, які досліджуються, на параметр оптимізації в області, близької до оптимуму.
Більш детально з методичними питаннями планування екстремальних експериментів можна ознайомитись в роботах [1, 17].
Д ОД АТ К И
Додаток 1 − Випадкові числа
44983 |
33834 |
54280 |
67850 |
96025 |
96117 |
00768 |
114821 |
69029 |
25453 |
48798 |
15486 |
89594 |
34431 |
44890 |
59890 |
79682 |
20308 |
82510 |
53609 |
13258 |
89631 |
80497 |
49167 |
54430 |
52632 |
94126 |
95597 |
48338 |
67645 |
44676 |
14730 |
22642 |
21919 |
21050 |
87791 |
96999 |
42104 |
34377 |
63309 |
82181 |
00278 |
28209 |
95629 |
75818 |
09043 |
48564 |
87355 |
87947 |
09427 |
32380 |
43636 |
58578 |
07761 |
28456 |
46570 |
11623 |
50417 |
37763 |
30136 |
30238 |
46126 |
85306 |
37114 |
22718 |
50584 |
92291 |
56575 |
24075 |
43889 |
Додаток 2 − Коефіцієнти Стьюдента tР
n-1 |
Рівень ймовірності Р |
||||
0,90 |
0,95 |
0,975 |
0,99 |
0,999 |
|
1 |
6,31 |
12,7 |
31,8 |
63,7 |
636,6 |
2 |
2,92 |
4,30 |
6,96 |
9.92 |
31,6 |
3 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
12,9 |
4 |
2,13 |
2,78 |
3,75 |
4,60 |
8,61 |
5 |
2,03 |
2,57 |
3,36 |
4,03 |
6,87 |
6 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
3,71 |
5,96 |
7 |
1,89 |
2,36 |
3,00 |
3,50 |
5,41 |
8 |
1,86 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
5,04 |
9 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
4,78 |
10 |
1,81 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
4,59 |
11 |
1,80 |
2,20 |
2,72 |
3,11 |
4,44 |
12 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
3,05 |
4,32 |
13 |
1,77 |
2,16 |
2,65 |
3,01 |
4,22 |
15 |
1,75 |
2,13 |
2,60 |
2,95 |
4,07 |
20 |
1,72 |
2,09 |
2,53 |
2,85 |
3,85 |
25 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,79 |
3,73 |
Додаток 3 – Квантилі розподілу τ max
n |
Надійність Р |
n |
Надійність Р |
||||
0,90 |
0,95 |
0,99 |
0,90 |
0,95 |
0,99 |
||
3 |
1,41 |
1,41 |
1,41 |
28 |
2,58 |
2,76 |
3,12 |
4 |
1,64 |
1,69 |
1,72 |
29 |
2,60 |
2,78 |
3,14 |
5 |
1,79 |
1,87 |
1,96 |
30 |
2,61 |
2,79 |
3,16 |
6 |
1,89 |
2,00 |
2,13 |
31 |
2,62 |
2,80 |
3,17 |
7 |
1,97 |
2,09 |
2,26 |
32 |
2,63 |
2,82 |
3,18 |
8 |
2,04 |
2,17 |
2,37 |
33 |
2,65 |
2,83 |
3,20 |
9 |
2,10 |
2,24 |
2,46 |
34 |
2,66 |
2,84 |
3,21 |
10 |
2,15 |
2,29 |
2,54 |
35 |
2,67 |
2,85 |
3,22 |
11 |
2,19 |
2,34 |
2,61 |
36 |
2,68 |
2,86 |
3,24 |
12 |
2,23 |
2,39 |
2,66 |
37 |
2,69 |
2,87 |
3,25 |
13 |
2,26 |
2,43 |
2,71 |
38 |
2,70 |
2,88 |
3,26 |
14 |
2,30 |
2,46 |
2,76 |
39 |
2,71 |
2,89 |
3,27 |
15 |
2,33 |
2,49 |
2,80 |
40 |
2,72 |
2,90 |
3,28 |
16 |
2,35 |
2,52 |
2,84 |
41 |
2,73 |
2,91 |
3,29 |
17 |
2,38 |
2,55 |
2,87 |
42 |
2,74 |
2,92 |
3,30 |
18 |
2,40 |
2,58 |
2,90 |
43 |
2,74 |
2,93 |
3,31 |
19 |
2,43 |
2,60 |
2,93 |
44 |
2,75 |
2,94 |
3,32 |
20 |
2,45 |
2,62 |
2,96 |
45 |
2,76 |
2,95 |
3,33 |
21 |
2,47 |
2,64 |
2,98 |
46 |
2,77 |
2,96 |
3,34 |
22 |
2,49 |
2,66 |
3,01 |
47 |
2,78 |
2,96 |
3,35 |
23 |
2,50 |
2,68 |
3,03 |
48 |
2,78 |
2,97 |
3,35 |
24 |
2,52 |
2,70 |
3,05 |
49 |
2,79 |
2,98 |
3,36 |
25 |
2,54 |
2,72 |
3,07 |
50 |
2,80 |
2,99 |
3,37 |
26 |
2,55 |
2,73 |
3,09 |
51 |
2,81 |
2,99 |
3,38 |
27 |
2,57 |
2,75 |
3,11 |
52 |
2,81 |
3,00 |
3,39 |
Додаток 4 − Процентні точки розподілу Стьюдента
ν |
Р (1−α) |
||||||
0,750 |
0,900 |
0,950 |
0,975 |
0,990 |
0,995 |
0,999 |
|
1 |
1,000 |
3,078 |
6,314 |
12,706 |
32,821 |
53,657 |
318,3 |
2 |
0,816 |
1,886 |
2,920 |
4,303 |
6,965 |
9,925 |
22,3 |
3 |
0,765 |
1,638 |
2,353 |
3,182 |
4,541 |
5,841 |
10,2 |
4 |
0,741 |
1,533 |
2,132 |
2,776 |
3,747 |
4,604 |
7,173 |
5 |
0,727 |
1,476 |
2,015 |
2,571 |
3,365 |
4,032 |
5,893 |
6 |
0,718 |
1,440 |
1,943 |
2,447 |
3,143 |
3,707 |
5,208 |
7 |
0,711 |
1,415 |
1,885 |
2,365 |
2,998 |
3,499 |
4,785 |
8 |
0,706 |
1,397 |
1,860 |
2,306 |
2,896 |
3,355 |
4,501 |
9 |
0,703 |
1,383 |
1,833 |
2,262 |
2,821 |
3,250 |
4,297 |
10 |
0,700 |
1,372 |
1,812 |
2,228 |
2,764 |
3,169 |
4,144 |
11 |
0,697 |
1,363 |
1,796 |
2,201 |
2,718 |
3,106 |
4,025 |
12 |
0,695 |
1,356 |
1,782 |
2,179 |
2,681 |
3,055 |
3,930 |
13 |
0,694 |
1,350 |
1,771 |
2,160 |
2,650 |
3,012 |
3,852 |
14 |
0,692 |
1,345 |
1,761 |
2,145 |
2,624 |
2,977 |
3,787 |
15 |
0,691 |
1,341 |
1,753 |
2,131 |
2,602 |
2,947 |
3,733 |
16 |
0,690 |
1,337 |
1,746 |
2,120 |
2,583 |
2,921 |
3,686 |
17 |
0,689 |
1,333 |
1,740 |
2,110 |
2,567 |
2,888 |
3,646 |
18 |
0,688 |
1,330 |
1,734 |
2,101 |
2,552 |
2,878 |
3,610 |
19 |
0,688 |
1,328 |
1,729 |
2,093 |
2,539 |
2,861 |
3,579 |
20 |
0,687 |
1,325 |
1,725 |
2,086 |
2,528 |
2,845 |
3,552 |
Додаток 5 − Ймовірність, виражена в процентах Р
(у
межах
)
=
як функція t
t |
0,00 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
0,0 |
0,00 |
0,80 |
1,60 |
2,39 |
3,19 |
3,99 |
4,78 |
5,58 |
6,38 |
7,17 |
0,1 |
7,97 |
8,76 |
9,55 |
10,34 |
11,13 |
11,92 |
12,71 |
13,50 |
14,28 |
15,07 |
0,2 |
15,85 |
16,63 |
17,41 |
18,19 |
18,97 |
19,74 |
20,51 |
21,28 |
22,05 |
22,82 |
0,3 |
23,58 |
24,34 |
25,10 |
25,86 |
26,61 |
27,37 |
28,12 |
28,86 |
29,61 |
30,35 |
0,4 |
31,08 |
31,82 |
32,55 |
33,28 |
34,01 |
34,73 |
35,45 |
36,16 |
36,88 |
37,59 |
0,5 |
38,29 |
38,99 |
39,69 |
40,39 |
41,08 |
41,77 |
42,45 |
43,13 |
43,81 |
44,48 |
0,6 |
45,15 |
45,81 |
46,47 |
47,13 |
47,78 |
48,43 |
49,07 |
49,71 |
50,35 |
50,98 |
0,7 |
51,61 |
52,23 |
52,85 |
53,46 |
54,07 |
54,67 |
55,27 |
55,87 |
56,46 |
57,05 |
0,8 |
57,63 |
58,21 |
58,78 |
59,35 |
59,91 |
60,47 |
61,02 |
61,57 |
62,11 |
62,55 |
0,9 |
63,13 |
63,72 |
64,24 |
64,76 |
65,28 |
65,79 |
66,29 |
66,86 |
67,29 |
67,78 |
1,0 |
68,27 |
68,75 |
69,23 |
69,70 |
70,17 |
70,63 |
71,09 |
71,54 |
71,99 |
72,43 |
1,1 |
72,87 |
73,30 |
73,73 |
74,15 |
74,57 |
74,99 |
75,40 |
75,80 |
76,20 |
76,60 |
1,2 |
76,99 |
77,37 |
77,75 |
78,13 |
78,50 |
78,87 |
79,23 |
79,59 |
79,95 |
80,29 |
1,3 |
80,64 |
80,98 |
81,32 |
81,65 |
81,98 |
82,30 |
82,62 |
82,93 |
83,24 |
83,55 |
1,4 |
83,85 |
84,15 |
84,44 |
84,73 |
85,01 |
85,29 |
85,57 |
85,84 |
86,11 |
86,38 |
1,5 |
86,64 |
86,90 |
87,15 |
87,40 |
87,64 |
87,89 |
88,12 |
88,36 |
88,59 |
88,82 |
1,6 |
89,04 |
89,26 |
89,48 |
89,69 |
89,90 |
90,11 |
90,31 |
90,51 |
90,70 |
90,90 |
1,7 |
91,09 |
91,27 |
91,46 |
91,64 |
91,81 |
91,99 |
92,16 |
92,33 |
92,49 |
92,65 |
1,8 |
92,81 |
92,97 |
93,12 |
93,28 |
93,42 |
93,57 |
93,71 |
93,85 |
93,99 |
94,12 |
1,9 |
94,26 |
94,39 |
94,51 |
94,64 |
94,76 |
94,88 |
95,00 |
95,12 |
95,23 |
95,34 |
2,0 |
95,45 |
95,56 |
95,66 |
95,76 |
95,86 |
95,96 |
96,06 |
96,15 |
96,25 |
96,34 |
2,1 |
96,43 |
96,51 |
96,60 |
96,68 |
96,76 |
96,84 |
96,92 |
97,00 |
97,07 |
97,15 |
2,2 |
97,22 |
97,29 |
97,36 |
97,43 |
97,49 |
97,56 |
97,62 |
97,68 |
97,74 |
97,80 |
2,3 |
97,86 |
97,91 |
97,97 |
98,02 |
98,07 |
98,12 |
98,17 |
98,22 |
98,27 |
98,32 |
2,4 |
98,36 |
98,40 |
98,45 |
98,49 |
98,53 |
98,57 |
98,61 |
98,65 |
98,69 |
98,72 |
2,5 |
98,76 |
98,79 |
98,83 |
98,86 |
98,89 |
98,92 |
98,95 |
98,98 |
99,01 |
99,04 |
2,6 |
99,07 |
99,09 |
99,12 |
99,15 |
99,17 |
99,20 |
99,22 |
99,24 |
99,26 |
99,29 |
2,7 |
99,31 |
99,33 |
99,35 |
99,37 |
99,39 |
99,40 |
99,42 |
99,44 |
99,46 |
99,47 |
2,8 |
99,49 |
99,50 |
99,52 |
99,53 |
99,55 |
99,56 |
99,58 |
99,59 |
99,60 |
99,61 |
2,9 |
99,63 |
99,64 |
99,65 |
99,66 |
99,67 |
99,68 |
99,69 |
99,70 |
99,71 |
99,72 |
Додаток 6 − Критичні межі відношення R / Sх
Обсяг вибірки п |
Нижні межі |
Верхні межі |
||||||
Ймовірність помилки α |
||||||||
0,01 |
0,025 |
0,05 |
0,10 |
0,10 |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
|
3 |
1,737 |
1,745 |
1,758 |
1,782 |
1,997 |
1,999 |
2,000 |
2,000 |
4 |
1,87 |
1,93 |
1,98 |
2,04 |
2,409 |
2,429 |
2,439 |
2,445 |
5 |
2,02 |
2,09 |
2,15 |
2,22 |
2,712 |
2,753 |
2,782 |
2,803 |
6 |
2,15 |
2,22 |
2,28 |
2,37 |
2,949 |
3,012 |
3,056 |
3,095 |
7 |
2,26 |
2,33 |
2,40 |
2,49 |
3,143 |
3,222 |
3,282 |
3,338 |
8 |
2,35 |
2,43 |
2,50 |
2,59 |
3,308 |
3,399 |
3,471 |
3,585 |
9 |
2,44 |
2,51 |
2,59 |
2,68 |
3,449 |
3,552 |
3,634 |
3,720 |
10 |
2,51 |
2,59 |
2,67 |
2,76 |
3,57 |
3,685 |
3,777 |
3,875 |
11 |
2,58 |
2,66 |
2,74 |
2,84 |
3,68 |
3,80 |
3,903 |
4,012 |
12 |
2,64 |
2,72 |
2.80 |
2,90 |
3,78 |
3,91 |
4,02 |
4,134 |
13 |
2,70 |
2,78 |
2,86 |
2,96 |
3,87 |
4,00 |
4,12 |
4,244 |
14 |
2,75 |
2,83 |
2,92 |
3.02 |
3,95 |
4,09 |
4,21 |
4,34 |
15 |
2,80 |
2,88 |
2.97 |
3,07 |
4,02 |
4,17 |
4,29 |
4,44 |
16 |
2,84 |
2,93 |
3,01 |
3,12 |
4,09 |
4,24 |
4,37 |
4,52 |
17 |
2,88 |
2,97 |
3,06 |
3,17 |
4,15 |
4,31 |
4,44 |
4,60 |
18 |
2,92 |
3,01 |
3,10 |
3,21 |
4,21 |
4,37 |
4,51 |
4,67 |
19 |
2,96 |
3,05 |
3,14 |
3,25 |
4,27 |
4,43 |
4,57 |
4,74 |
20 |
2,99 |
3,09 |
3,18 |
3,29 |
4,32 |
4,49 |
4,63 |
4,80 |
25 |
3,15 |
3,24 |
3,34 |
3,45 |
4,53 |
4,71 |
4,87 |
5,06 |
30 |
3,27 |
3,37 |
3,47 |
3,59 |
4,70 |
4,89 |
5,06 |
5,26 |
35 |
3,38 |
3,48 |
3,58 |
3,70 |
4,84 |
5,04 |
5,21 |
5,42 |
40 |
3,47 |
3,57 |
3,67 |
3,79 |
4,96 |
5,16 |
5,34 |
5,56 |
45 |
3,55 |
3,66 |
3,75 |
3,88 |
5,06 |
5,26 |
5,45 |
5,67 |
50 |
3,62 |
3,73 |
3,83 |
3,95 |
5,14 |
5,35 |
5,54 |
5,77 |
60 |
3,75 |
3,86 |
3,96 |
4,08 |
5,29 |
5,51 |
5,70 |
5,94 |
70 |
3,85 |
3,96 |
4,06 |
4,19 |
5,41 |
5,63 |
5,83 |
6,07 |
80 |
3,94 |
4,05 |
4,16 |
4,28 |
5,51 |
5,73 |
5,93 |
6,18 |
90 |
4,02 |
4,13 |
4,24 |
4,36 |
5,60 |
5,82 |
6,06 |
6,27 |
100 |
4,10 |
4,21 |
4,31 |
4,44 |
5,68 |
5,90 |
6,11 |
6,36 |
Додаток 7 − Інтеграл ймовірностей Ф(t)
t |
Соті долі t |
|||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0,0 |
0,0000 |
0040 |
0080 |
0120 |
0160 |
0199 |
0239 |
0279 |
0319 |
0359 |
0,1 |
0398 |
0438 |
0478 |
0517 |
0557 |
0596 |
0636 |
0675 |
0714 |
0753 |
0,2 |
0793 |
0832 |
0832 |
0910 |
0948 |
0987 |
1026 |
1064 |
1103 |
1141 |
0,3 |
1179 |
1217 |
1255 |
1293 |
1331 |
1368 |
1406 |
1443 |
1480 |
1517 |
0,4 |
1554 |
1591 |
1628 |
1664 |
1700 |
1736 |
1772 |
1808 |
1844 |
1879 |
0,5 |
1915 |
1950 |
1985 |
2019 |
2054 |
2088 |
2123 |
2157 |
2190 |
2224 |
0,6 |
2257 |
2291 |
2324 |
2357 |
2389 |
2422 |
2454 |
2486 |
2517 |
2549 |
0,7 |
2580 |
2611 |
2642 |
2673 |
2703 |
2703 |
2734 |
2764 |
2823 |
2852 |
0,8 |
2881 |
2910 |
2939 |
2967 |
2995 |
3023 |
3051 |
3078 |
3106 |
3133 |
0,9 |
3159 |
3186 |
3212 |
3238 |
3264 |
3289 |
3315 |
3340 |
3365 |
3389 |
1,0 |
3413 |
3437 |
3461 |
3485 |
3508 |
3531 |
3554 |
3577 |
3599 |
3621 |
1,1 |
3643 |
3665 |
3686 |
3708 |
3729 |
3749 |
3770 |
3790 |
3810 |
3830 |
1,2 |
3849 |
3869 |
3888 |
3907 |
3925 |
3944 |
3962 |
3980 |
3997 |
4015 |
1,3 |
4032 |
4049 |
4066 |
4082 |
4099 |
4115 |
4131 |
4147 |
4162 |
4177 |
1,4 |
4192 |
4207 |
4222 |
4236 |
4251 |
4265 |
4279 |
4292 |
4306 |
4319 |
1,5 |
4332 |
4345 |
4357 |
4370 |
4382 |
4394 |
4406 |
4418 |
4429 |
4441 |
1,6 |
4452 |
4463 |
4474 |
4484 |
4495 |
4505 |
4515 |
4525 |
4535 |
4545 |
1,7 |
4554 |
4564 |
4573 |
4582 |
4591 |
4599 |
4608 |
4616 |
4625 |
4633 |
1,8 |
4641 |
4649 |
4656 |
4664 |
4671 |
4678 |
4686 |
4693 |
4699 |
4706 |
1,9 |
4713 |
4719 |
4726 |
4732 |
4738 |
4744 |
4750 |
4756 |
4761 |
4767 |
2,0 |
4772 |
4778 |
4783 |
4788 |
4793 |
4798 |
4803 |
4808 |
4812 |
4817 |
2,1 |
4821 |
4826 |
4830 |
4834 |
4838 |
4842 |
4846 |
4850 |
4854 |
4857 |
2,2 |
4861 |
4864 |
4868 |
4871 |
4875 |
4878 |
4881 |
4884 |
4887 |
4890 |
2,3 |
4893 |
4896 |
4898 |
4901 |
4904 |
4906 |
4909 |
4911 |
4913 |
4916 |
2,4 |
4918 |
4920 |
4922 |
4925 |
4927 |
4929 |
4931 |
4932 |
4934 |
4936 |
Додаток 8 − Ординати стандартної нормальної кривої
z |
0,00 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
0,0 |
0,3989 |
3989 |
3989 |
3988 |
3986 |
3984 |
3982 |
3980 |
3977 |
3973 |
0,1 |
3970 |
3965 |
3961 |
3956 |
3951 |
3945 |
3939 |
3932 |
3925 |
3918 |
0,2 |
3910 |
3902 |
3894 |
3885 |
3876 |
3867 |
3857 |
3847 |
3836 |
3825 |
0,3 |
3814 |
3802 |
3790 |
3778 |
3765 |
3752 |
3739 |
3725 |
3712 |
3697 |
0,4 |
3683 |
3668 |
3653 |
3637 |
3621 |
3605 |
3589 |
3572 |
3555 |
3538 |
0,5 |
3521 |
3503 |
3485 |
3467 |
3448 |
3429 |
3410 |
3391 |
3372 |
3352 |
0,6 |
3332 |
3312 |
3292 |
3271 |
3251 |
3230 |
3209 |
3187 |
3166 |
3144 |
0,7 |
3123 |
3101 |
3079 |
3056 |
3034 |
3011 |
2989 |
2966 |
2943 |
2920 |
0,8 |
2897 |
2874 |
2850 |
2827 |
2803 |
2780 |
2756 |
2732 |
2709 |
2685 |
0,9 |
2661 |
2637 |
2613 |
2589 |
2565 |
2541 |
2516 |
2492 |
2468 |
2444 |
1,0 |
2420 |
2396 |
2371 |
2347 |
2323 |
2299 |
2275 |
2251 |
2227 |
2203 |
1,1 |
2179 |
2155 |
2131 |
2107 |
2083 |
2059 |
2036 |
2012 |
1989 |
1965 |
1,2 |
1942 |
1919 |
1895 |
1872 |
1849 |
1826 |
1804 |
1781 |
1758 |
1736 |
1,3 |
1714 |
1691 |
1669 |
1647 |
1626 |
1604 |
1582 |
1561 |
1539 |
1518 |
1,4 |
1497 |
1476 |
1456 |
1435 |
1415 |
1394 |
1374 |
1354 |
1334 |
1315 |
1,5 |
1295 |
1276 |
1257 |
1238 |
1219 |
1200 |
1182 |
1163 |
1145 |
1127 |
1,6 |
1109 |
1092 |
1074 |
1057 |
1040 |
1023 |
1006 |
0989 |
0973 |
0957 |
1,7 |
0940 |
0925 |
0909 |
0893 |
0878 |
0863 |
0848 |
0833 |
0818 |
0804 |
1,8 |
0790 |
0775 |
0761 |
0748 |
0734 |
0721 |
0707 |
0694 |
0681 |
0669 |
1,9 |
0656 |
0644 |
0632 |
0532 |
0620 |
0608 |
0584 |
0573 |
0562 |
0551 |
2,0 |
0540 |
0529 |
0519 |
0508 |
0498 |
0488 |
0478 |
0468 |
0459 |
0449 |
2,1 |
0440 |
0431 |
0422 |
0413 |
0404 |
0396 |
0387 |
0379 |
0371 |
0363 |
2,2 |
0285 |
0347 |
0339 |
0332 |
0325 |
0317 |
0310 |
0303 |
0297 |
0290 |
2,3 |
0283 |
0277 |
0270 |
0264 |
0258 |
0252 |
0246 |
0241 |
0235 |
0229 |
2,4 |
0224 |
0219 |
0213 |
0208 |
0203 |
0198 |
0194 |
0189 |
0184 |
0180 |
2,5 |
0175 |
0171 |
0167 |
0163 |
0158 |
0154 |
0151 |
0147 |
0143 |
0139 |
2,6 |
0136 |
0132 |
0129 |
0126 |
0122 |
0119 |
0116 |
0113 |
0110 |
0107 |
2,7 |
0104 |
0101 |
0099 |
0096 |
0093 |
0091 |
0088 |
0086 |
0084 |
0081 |
2,8 |
0079 |
0077 |
0075 |
0073 |
0071 |
0069 |
0067 |
0065 |
0063 |
0061 |
2,9 |
0060 |
0058 |
0056 |
0055 |
0053 |
0051 |
0050 |
0048 |
0047 |
0046 |
3,0 |
0044 |
0043 |
0042 |
0040 |
0039 |
0038 |
0037 |
0036 |
0035 |
0034 |
Додаток 9 − Критичні значення χ2 при надійності Р
та степені свободи k
k |
Р |
|||||
0,80 |
0,90 |
0,95 |
0,975 |
0,99 |
0,995 |
|
1 |
1,642 |
2,706 |
3,841 |
5,021 |
6,635 |
7,879 |
2 |
3,219 |
4,605 |
5,991 |
7,378 |
9,210 |
10,597 |
3 |
4,642 |
6,251 |
7,815 |
9,348 |
11,345 |
12,838 |
4 |
5,989 |
7,779 |
9,488 |
11,143 |
13,277 |
14,860 |
5 |
7,289 |
9,236 |
11,070 |
12,832 |
15,086 |
16,750 |
6 |
8,558 |
10,645 |
12,592 |
14,449 |
16,812 |
18,548 |
7 |
9,803 |
12,017 |
17,067 |
16,013 |
18,475 |
20,278 |
8 |
11,030 |
13,362 |
15,507 |
17,535 |
20,090 |
21,955 |
9 |
12,242 |
14,684 |
16,919 |
19,023 |
21,666 |
23,589 |
10 |
13,442 |
15,987 |
18,307 |
20,483 |
23,209 |
25,188 |
Додаток
10 − Значення 5%-х точок
F-розподілу
з числом свободи чисельника ν1
та знаменника ν2
ν2 |
ν1 |
|||||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
20 |
30 |
40 |
∞ |
|
1 |
161,4 |
199,5 |
215,7 |
224,6 |
230,2 |
234,0 |
236,8 |
238,9 |
240,5 |
241,9 |
248,0 |
250,1 |
251,1 |
254,3 |
2 |
18,51 |
19,00 |
19,16 |
19,25 |
19,30 |
19,33 |
19,35 |
19,37 |
19,38 |
19,40 |
19,45 |
19,46 |
19,47 |
19,50 |
3 |
10,13 |
9,55 |
9,28 |
9,12 |
9,01 |
8,94 |
8,89 |
8,85 |
8,81 |
8,79 |
8,66 |
8,62 |
8,59 |
8,53 |
4 |
7,71 |
6,94 |
6,59 |
6,39 |
6,26 |
6,16 |
6,06 |
6,04 |
6,00 |
5,96 |
5,80 |
5,75 |
5,72 |
5,63 |
5 |
6,61 |
5,79 |
5,41 |
5,19 |
5,05 |
4,95 |
4,88 |
4,82 |
4,77 |
4,74 |
4,56 |
4,50 |
4,46 |
4,36 |
6 |
5,99 |
5,14 |
4,76 |
4,53 |
4,39 |
4,28 |
4,21 |
4,14 |
4,10 |
4,06 |
3,87 |
3,81 |
3,77 |
3,67 |
7 |
5,59 |
4,74 |
4,35 |
4,12 |
3,97 |
3,87 |
3,79 |
3,73 |
3,68 |
3,64 |
3,44 |
3,38 |
3,34 |
3,23 |
8 |
5,32 |
4,46 |
4,07 |
3,84 |
3,69 |
3,58 |
3,50 |
3,44 |
3,39 |
3,35 |
3,15 |
3,08 |
3,04 |
2,93 |
9 |
5,12 |
4,26 |
3,86 |
3,62 |
3,48 |
3,37 |
3,29 |
3,23 |
3,18 |
3,14 |
2,94 |
2,86 |
2,83 |
2,71 |
10 |
4,96 |
4,10 |
3,71 |
3,48 |
3,33 |
3,22 |
3,14 |
3,07 |
3,02 |
2,98 |
2,77 |
2,70 |
2,66 |
2,54 |
11 |
4,84 |
3,98 |
3,59 |
3,36 |
3,20 |
3,09 |
3,01 |
2,95 |
2,90 |
2,85 |
2,65 |
2,57 |
2,53 |
2,40 |
12 |
4,75 |
3,89 |
3,49 |
3,26 |
3,11 |
3,00 |
2,91 |
2,85 |
2,80 |
2,75 |
2,54 |
2,47 |
2,43 |
2,30 |
13 |
4,67 |
3,81 |
3,41 |
3,18 |
3,03 |
2,92 |
2,83 |
2,77 |
2,71 |
2,67 |
2,46 |
2,38 |
2,34 |
2,21 |
14 |
4,60 |
3,74 |
3,34 |
3,11 |
2,96 |
2,85 |
2,76 |
2,70 |
2,65 |
2,60 |
2,39 |
2,31 |
2,27 |
2,13 |
15 |
4,54 |
3,68 |
3,29 |
3,06 |
2,90 |
2,79 |
2,71 |
2,64 |
2,59 |
2,54 |
2,33 |
2,25 |
2,20 |
2,07 |
20 |
4,35 |
3,49 |
3,10 |
2,87 |
2,71 |
2,60 |
2,51 |
2,45 |
2,39 |
2,35 |
2,12 |
2,07 |
2,03 |
1,84 |
30 |
4,17 |
3,32 |
2,92 |
2,69 |
2,53 |
2,42 |
2,33 |
2,27 |
2,21 |
2,16 |
1,93 |
1,84 |
1,79 |
1,62 |
40 |
4,08 |
3,23 |
2,84 |
2,61 |
2,45 |
2,34 |
2,25 |
2,18 |
2,12 |
2,08 |
1,84 |
1,74 |
1,69 |
1,51 |
∞ |
3,84 |
3,00 |
2,60 |
2,37 |
2,21 |
2,10 |
2,01 |
1,94 |
1,88 |
1,83 |
1,57 |
1,46 |
1,39 |
1,00 |