7.3. Планування екстремальних експериментів

Планування екстремального експерименту - це метод вибору кількості та умов проведення дослідів, мінімально потрібних для відшукання оптимальних умов, тобто для вирішення поставленої задачі.

При плануванні екстремального експерименту дуже важливо визначити параметр, який потрібно оптимізувати. Зробити це зовсім не так просто, як здається на перший погляд. Мета дослідження повинна бути сформульована дуже чітко і допускати кількіс­ну оцінку. Будемо називати характеристику цілі, задану кількісно, параметром оптимізації. Параметр оптимізації є реакцією (відгу­ком) на дію чинників, які визначають поведінку обраної системи.

В чому полягає недолік одночинникового експерименту і чому ним недоцільно користуватись при дослідженні багаточинникових систем ?

При одночинниковому експерименті, варіюючи одним чинником та стабілізуючи всі інші на довільно обраних рівнях, експе­риментатор одержує залежність параметра оптимізації тільки від одного чинника і визначає локальний оптимум. Далі він повторює аналогічну процедуру для другого, третього, ... і k-го чинників. В результаті тривалої та кропіткої роботи, яка вимагає багато коштів і часу, дослідні дані представляються десятками графіків, які по суті мають ілюстративний характер.

Припустимо, що експериментатор хоче дослідити вплив чотирьох чинників на деякий параметр оптимізації і вирішив проводити одночинниковий експеримент. Для того, щоб побудувати криву, бе­руть 4-5 експериментальних точок, тобто забезпечують значення чинника на 4-5 рівнях. За таких умов необхідну кількість дослідів для реалізації різних комбінацій дорівнює N = 4⁴ - 5⁴ = 256 − 625. Цілком ясно, що таку кількість дослідів реалізувати неможливо. Значить експериментатор довільно відкине дуже багато комбінацій і реалізує невелику частину дослідів, змінюючи чинники по одному при постійних значеннях інших.

Тоді природно виникне питання, який будуть мати вигляд криві, якщо інші чинники застабілізувати на іншому рівні? Безсумнівно, криві зміняться. Перебрати всі комбінації - значить поставити 256 - 625 дослідів.

Як в одно-, так і в багаточинникових експериментах чинники змінюються у визначених межах, при цьому розмір варіювання скла­дає деяку долю від області визначення чинника. Можна, наприклад, умовитись про наступне: якщо інтервал складає не більше 10% від області визначення, вважати його вузьким, не більше 30% - серед­нім і в решті випадків - широким. Досить часто вибирається се­редній інтервал (10…30%).

Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів чинників, називається повним чинниковим експериментом.

Обчислення оцінок коефіцієнтів рівняння множинної регресії проводиться за формулою

. (7.13)

Коефіцієнти при незалежних змінних величинах вказують на силу впливу чинників. Чим більше чисельна величина коефіцієнта, тим більший вплив має чинник. Якщо коефіцієнт має знак плюс, то із збільшенням значення чинника параметр оптимізації збільшується, а якщо мінус, то зменшується. Величина коефіцієнта відповідає внеску цього чинника до величини параметра оптимізації при переході чинника з нульового рівня на верхній або нижній. Іноді зручно оцінювати внесок фактора при переході від нижнього до верхнього рівня. Внесок, який визначається таким чином, назива­ється ефектом чинника (іноді його називають основним або голов­ним ефектом). Він чисельно дорівнює подвоєному коефіцієнту. Для якісних чинників, які варіюються на двох рівнях, основний рівень не має фізичного сенсу. Тому поняття "ефект чинника" є тут при­роднім.

Кількість дослідів у повному чинниковому експерименті значно перевищує кількість коефіцієнтів лінійної моделі, які визна­чаються. Іншими словами, повний чинниковий експеримент володіє великого надмірністю дослідів.

Експеримент з меншою кількістю дослідів, яка являє собою визначену частину від повного чинникового експерименту, називається дробним чинниковим експериментом. А план, який в ньому ре­алізується, являє собою відповідну репліку від повного експери­менту.

Щоб скоротити кількість дослідів, потрібно новому чиннику присвоїти вектор-стовбець матриці, що належить взаємодії, яку можна знехтувати. Символічне позначення добутку стовбців, який дорівнює +1 або -1 називається визначальним контрастом. Контраст допомагає визначити змішані ефекти. Для того, щоб визначити, який ефект змішаний з даним, потрібно помножити обидві частини визначального контрасту на стовбець, який відповідає цьому ефек­ту. Так, якщо 1 = х₁×х₂×х₃×х₄, то для х₁ маємо х₁ = х₁²×х₂×х₃×х₄ = х₂×х₃×х₄, так як х_і² = 1. Це означає, що коефіцієнти лінійного рівняння будуть оцінками

(7.14)

Співвідношення, що показує з яким із ефектів змішаний цей ефект, називається генеруючим співвідношенням.

При виборі напіврепліки 2^4-1 можливі вісім рішень:

1) х₄ = х₁×х₂ ; 2) х₄ = -х₁×х₂ ; 3) х₄ = х₂×х₃ ; 4) х₄ = -х₂×х₃ ;

5) х₄ = х₁×х₃ ; 6) х₄ = -х₁×х₃ ; 7) х₄ = х₁×х₂×х₃ ; 8) х₄ = -х₁×х₂×х₃.

Розв'язувальна здібність цих напівреплік різна. Репліки 7 і 8 мають максимальну розв'язувальну здібність (у визначальному контрасті 4 чинника) і називаються головними. Розв'язувальна здібність максимальна, якщо лінійні ефекти змішані з ефектами взаємодії найбільш можливого порядку.

За відсутністю апріорної інформації про ефекти взаємодії експериментатор повинен прагнути вибрати репліку з найбільшою розв'язувальною здібністю, так як потрійні взаємодії менш важ­ливі, ніж парні. Якщо існує інформація про ефекти взаємодії, то вона повинна використовуватись при виборі репліки.

Репліки, в яких немає ні одного головного ефекту, змішаного з іншими головними ефектами або парними взаємодіями, а всі парні взаємодії змішані одна з одною, носять назву планів із розв'язувальною здібністю IV (по найбільшій кількості чинників у визна­чальному контрасті).

Приклад 7.1. Планування експерименту при відшуканні оптималь­них умов процесу розігрівання м'ясних смажених виробів.

При плануванні екстремального експерименту була врахована наступна апріорна інформація [16, 18]. Розігрівання смажених м'ясних виробів у жаровій шафі рекомендується проводити при температурі повітря від 100 до 250 ^оС протягом 20... 40 хв. Відомостей про те, які температури кращі для забезпечення високої якості розігрітих м'ясних виробів немає. Тривалість доведення виробів до заданої кінцевої температури залежить від температури гріючо­го середовища, форми і маси виробу, його теплофізичних властивостей та інших параметрів. Теплота, яка підведена до виробу, витрачається не тільки на підвищення його температури, але й на випарювання вологи. За літературними відомостями та нашими дослід­ними даними, при розігріванні втрати вологи в результаті випарюван­ня складають від 8 до 12 % до маси виробів. Для збереження виходу виробів рекомендується перед розігріванням збризкувати їх водою (10 г на порцію). Крім того, щоб уникнути прилипання виробів до посуду та підгоряння їх, рекомендують поверхню листів змащувати жиром (2 г на порцію). В літературі немає переконливих обґрунтувань щодо доцільності розморожування виробів перед розігріванням. Оскільки використання швидкозамороженої кулінарної продукції особливо ефективне при нестабільних потоках людей, що харчують­ся, необхідність попереднього її розморожування може порушувати відповідність між попитом і пропонуванням при її реалізації. Крім того, в процесі розморожування якість виробів може погіршу­ватись у результаті підвищеної активності мікрофлори на їх поверхні. У зв'язку з цим виникає задача мати статистично обґрунтовані висновки про можливість одержання високої якості розігрі­тих швидкозаморожених м'ясних виробів без попереднього їх розмо­рожування.

В роботі [28] для вибору оптимального режиму багаточинникового процесу розігріву швидкозаморожених смажених м'ясних виро­бів (антрекот, біфштекс січений та січена котлета) традиційним способом (гарячим повітрям у жаровій шафі) був спланований екстремальний експеримент 2⁴ - чотири чинника варіюють на двох рівнях (три чинники кількісні та один якісний), по методу Бокса-Уілсона [1].

Параметр оптимізації - вихід виробів, органолептична оцінка виробів та тривалість процесу. Вивчені чинники:

температура повітря в жаровій шафі, ^оС (х₁);

кількість води, яка додається до виробів при розігріванні (для компенсації втрат), % до маси (х₂);

кількість жиру для змащування листів, в яких розігріваються ви­роби, г (х₃);

термічний стан виробів перед розігріванням - розморожені або не розморожені (х₄).

Основний рівень кількісних чинників, які досліджуються, зна­ходиться приблизно в центрі вже відомого чинникового простору. Рівні та інтервали варіювання чинників вказані в таблиці 7.1.

План експерименту включає в себе 8 комбінацій чинників, які вивчають­ся, кожна з яких відтворена в двократній повторності (мінімально допустимої для одержання статистично обґрунтованих висновків); порядок проведення індивідуальних дослідів, які реалізують ту чи іншу комбінацію чинників, рандомізований за допомогою випадкових чисел.

^{Таблиця 7.1 – Рівні та інтервали варіювання чинників в експерименті 24}

Рівні та інтервал варіювання	Чинники
	х1	х2	х3	х4
	температура повітря в жаровій шафі, оС	кількість води, яка додається до виробів, % до маси	кількість жиру, який додається, г	термічний стан виробів перед розігріванням
Основний	175	10	1,5	-
Інтервал варіювання	25	3	0,5	-
Верхній	200	13	2,0	розморожені
Нижній	150	7	1,0	не розморожені

Для мінімізації кількості дослідів використовувалась голов­на напіврепліка повного чинникового експерименту з розв'язувальною здібністю IV та визначальним контрастом 1 = х₁×х₂×х₃×х₄.

Одержані дослідні дані були використані для оцінки семи ефектів обробок: чотирьох головних ефектів (х₁×х₂ = х₃×х₄, х₁×х₃ = х₂×х₄, та х₂×х₃ = х₁×х₄), двох блокових середніх, а також для статистичної перевірки значущості оцінених ефектів. Матриця плану експерименту представлена в таблиці 7.2.

Середні результати кожного досліду експерименту приведені в таблиці 7.3.

Таблиця 7.2 − Матриця експерименту 2^4-1

№ до-сліду	План до-сліду	Порядок проведення дослідів	Чинники та їх взаємодії
			х0	х1	х2	Х3	х4	х1х2	х1х3	х2х3
1	аbсd	2, 16	+	+	+	+	+	+	+	+
2	аb	15, 1	+	+	+	-	-	+	-	-
3	ас	9, 3	+	+	-	+	-	-	+	-
4	аd	5, 7	+	+	-	-	+	-	-	+
5	bс	12, 4	+	-	+	+	-	-	-	+
6	bd	14, 6	+	-	+	-	+	-	+	-
7	сd	8, 11	+	-	-	+	+	+	-	-
8	1	13, 10	+	-	-	-	-	+	+	+

Таблиця 7.3 – Середні значення екстремального експерименту розігрівання

швидкозаморожених смажених м’ясних виробів

№ до-слі-дів	Вихід, % Y1			Органолептична оцінка, бал Y2			Тривалість розігрівання 100 г виробів, хв. Y3
	Антрекот	Біфштекс січений	Січена котлета	Антрекот	Біфштекс січений	Січена котлета	Антрекот	Біфштекс січений	Січена котлета
1	101,01	98,61	103,39	38,9	48,3	46,5	9,61	16,94	14,02
2	97,16	100,68	103,91	40,5	47,8	45,0	25,68	14,23	12,86
3	100,37	98,67	104,57	40,5	49,4	46,0	15,45	10,68	12,51
4	101,30	96,97	100,28	42,5	48,8	46,0	7,03	9,81	15,43
5	101,42	99,63	103,18	47,0	50,0	46,0	28,05	43,40	49,61
6	99,27	95,21	120,30	46,6	50,0	49,0	23,96	24,43	52,10
7	99,72	97,06	99,61	46,3	50,0	47,5	23,46	28,85	48,90
8	101,87	96,57	100,68	43,2	49,9	46,5	27,97	34,01	48,57