5.7. Обчислення оцінок невідомих параметрів кубічної функції регресії
Приклад 5.3. Нехай ми маємо підстави вважати, що зв'язок між результуючими та чинниковими ознаками, показаний на рисунку 5.2, може бути описаний многочленом третього степеня.
Задача полягає в тому, щоб в результаті статистичних розрахунків визначити коефіцієнти кубічної функції регресії у = а + + bх + сх2 + dх3 , яка найкраще описувала б експериментальні дані, тобто сума квадратів відхилень експериментальних точок від проведеної кривої вздовж осі ординат була б мінімальною.
Коефіцієнти а, b, с і d визначаються при розв'язанні системи нормальних рівнянь (5.19). Суми, необхідні для обчислення коефіцієнтів кубічної функції регресії, апроксимуючої результати експерименту, приведені в таблиці 5.6.
Таблиця 5.6− Дані статистичних обліків параметрів рівняння кубічної регресії
№ п/п |
х |
у |
ху |
х2 |
х2у |
х3 |
х3у |
х4 |
х5 |
х6 |
1 |
0 |
49,0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
47,5 |
47,5 |
1 |
47,5 |
1 |
47,5 |
1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
46,3 |
92,6 |
4 |
185,2 |
8 |
370,4 |
16 |
32 |
64 |
4 |
3 |
45,0 |
135,0 |
9 |
405,0 |
27 |
1215,0 |
81 |
243 |
729 |
5 |
4 |
43,3 |
173,2 |
16 |
692,8 |
64 |
2771,2 |
256 |
1024 |
4096 |
6 |
5 |
41,5 |
207,5 |
25 |
1037,5 |
125 |
5187,5 |
625 |
3125 |
15625 |
7 |
6 |
38,7 |
232,2 |
36 |
1393,2 |
216 |
8359,2 |
1296 |
7776 |
46656 |
8 |
7 |
35,5 |
248,5 |
49 |
1739,5 |
343 |
12176,5 |
2401 |
16807 |
117649 |
9 |
8 |
31,5 |
252,0 |
64 |
2016,0 |
512 |
16128,0 |
4096 |
32768 |
262144 |
10 |
9 |
24,5 |
220,5 |
81 |
1984,5 |
729 |
17860,5 |
6561 |
59049 |
513441 |
|
45 |
402,5 |
1609,0 |
285 |
9501,2 |
2025 |
64115,8 |
15333 |
120825 |
978405 |
Підставимо в систему (5.19) дані таблиці 5.6.
10а + 45b + 285с + 2025d = 402,8 (1')
45а + 285b + 2025с + 15333d = 1609,0 (2')
285а + 2025b + 15333с + 120825d = 9501,2 (3')
2025а + 15333b + 120825с + 978405d = 64115,8 (4')
Із рівнянь (1') та (2') виключимо а, для чого всі члени рівняння (1') помножимо на 4,5.
45а + 202,5b + 1282,5с + 9112,5d = 1812,6
45а + 285,0b + 2025,0с + 15333,0d =1609,0
82,5b + 742,5с + 6220,5d = -203,6 (5')
Із рівнянь (2') та (3') виключимо а, для чого всі члени рівняння (2') помножимо на 6,3333.
285а + 1805 b + 12825с + 97104,9d = 10190,3
285а + 2025 b + 15333с + 120825,0d = 9501,2
220 b + 2508с + 23720,1d = 689,1 (6')
Із рівнянь (3') та (4') виключимо а, для чого всі члени рівняння (3') помножимо на 7,1053.
2025а + 14388,2b + 108945,5с + 858497,9d = 67508,9
2025а + 15333,0b + 120825,0с + 978405,0d = 64115,8
944,8b + 11879,5с + 119907,1d = -3393,1 (7')
Із рівнянь (5') та (6') виключимо b, для чого всі члени рівняння (5') помножимо на 2,6667.
220b +1980с + 16588,2d = -542,9
220b + 2508с + 23720,1d = -689,1
528с + 7131,9d = -146,2 (8')
Із рівнянь (6') та (7') виключимо b, для чого всі члени рівняння (6') помножимо на 4,2945.
944,8 b + 10770,6с +101866,1d = -2959,3
944,8 b + 11879,5с + 119907,1d = -3393,1
1108,9с + 18041,0d = - 433,8 (9')
Із рівнянь (8') та (9') виключимо с, для чого всі члени рівняння (8') помножимо на 2,1002. Визначимо значення d.
1108,9с + 14978,4 d = -307,0
1108,9с + 18041,0 d = -433,8
3062,6d = -126,8
d = -0,041 .
Підставимо значення d у рівняння (8') та визначимо значення с.
528с + 7131,9×( -0,041) = - 146,2
с = (7131,9×0,041 - 146,2)/528 = 0,277 .
Підставимо значення с і d у рівняння (6') та визначимо значення b.
220b + 2508×0,277 + 23720,1× (-0,041) = -689,1
b = (23720,1×0,041 - 2508×0,277 - 689,1)/220 - -1,870 .
Підставимо значення b, с і d у рівняння (1') і визначимо значення а.
10а + 45× (-1,87) + 285×0,277 + 2025× (-0,041) = 402,8
а = (45×1,87−285×0,277+2025×0,041+402,8)/10 = 49,103 .
Перевірка: Підставимо значення а, b, с і d у рівняння (3').
285×49,1+2025×(-1,87)+15333×0,277+120825-0,041) = 9501,2
9500,2≈ 9501,2
Отже, кубічна функція регресії, що відображає залежність загальної органолептичної оцінки охолодженої страви "яловичина в кисло-солодкому соусі" (в балах по 50-бальній системі) від терміну зберігання її в функціональних ємкостях (у добах), має вигляд:
у = 49,1 -1,87х + 0,277х2 - 0,041х3. (5.23)