5.6. Обчислення оцінок невідомих параметрів квадратичної функції регресії
Приклад. 5.2. У НДІГХ [20] були одержані дані по зміненню органолептичної оцінки м'ясних тушкованих страв у процесі холодильного збереження в функціональних ємкостях при температурі 0...2 оС. Середні значення (п=6) загальної оцінки в балах для яловичини в кисло-солодкому соусі приведені нижче.
Термін збері- гання, доби |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Загальна оцінка, бал |
49,0 |
47,5 |
46,3 |
45,0 |
43,3 |
41,5 |
38,7 |
35,5 |
31,5 |
24,5 |
На рис 5.2 показана динаміка органолептичної оцінки страви, що досліджується. Як видно, зв'язок між результуючою та чинниковою ознаками нелінійний. Є підстави вважати, що ця залежність може бути описана многочленом другого степеня.
Рисунок 5.2 − Органолептична оцінка якості охолодженої яловичини у кисло-солодкому соусі при зберіганні
Задача полягає в тому, щоб шляхом статистичних розрахунків обчислити коефіцієнти квадратичної функції регресії у = а + bх + сх2 , яка найкраще описувала б експериментальні дані, тобто сума квадратів відхилень експериментальних точок від проведеної кривої вздовж осі ординат була б мінімальною.
Коефіцієнти а, b і с визначаються при розв'язанні системи нормальних рівнянь (5.18). Необхідні статистичні розрахунки виконаємо в табличній формі (таблиця 5.4).
Таблиця 5.4 − Суми, необхідні для обчислення коефіцієнтів квадратичної регресії
№ п/п |
Х |
у |
ху |
х2 |
х2у |
х3 |
х4 |
1 |
0 |
49,0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
47,5 |
47,5 |
1 |
47,5 |
1 |
1 |
3 |
2 |
46,3 |
92,6 |
4 |
185,2 |
8 |
16 |
4 |
3 |
45,0 |
135,0 |
9 |
405,0 |
27 |
81 |
5 |
4 |
43,3 |
173,2 |
16 |
692,8 |
64 |
256 |
6 |
5 |
41,5 |
207,5 |
25 |
1037,5 |
125 |
625 |
7 |
6 |
38,7 |
232,2 |
36 |
1393,2 |
216 |
1296 |
8 |
7 |
35,5 |
248,5 |
49 |
1739,5 |
343 |
2401 |
9 |
8 |
31,5 |
252,0 |
64 |
2016,0 |
512 |
4096 |
10 |
9 |
24,5 |
220,5 |
81 |
1984,5 |
729 |
6561 |
|
45 |
402,5 |
1609,0 |
285 |
9501,2 |
2025 |
15333 |
Підставимо в систему (5.18) дані таблиці 5.4.
10а + 45b + 285с = 402,5 (1')
45а + 285b + 2025с = 1609,0 (2')
285а + 2025b + 15333с = 9501,2 (3')
Із рівнянь (1') та (2') виключимо а, для чого всі члени рівняння (1') помножимо на 4,5.
45а + 202,5b + 1282,5с = 1812,6
45а + 285,0b + 2025,0с = 1609,0
82,5b + 742,5с = -203,6 (4')
Із рівнянь (2') та (3') виключимо а, для чого всі члени рівняння (2') помножимо на 6,3333.
285а + 1805b + 12825с = 10190,3
285а + 2025b + 15333с = 9501,2
220b + 2508с = -689,1 (5')
Із рівнянь (4') та (5') виключимо b, для чого всі члени рівняння (4') помножимо на 2,6667. Визначимо значення с.
220b + 1980с = -542,9
220b + 2508с = -689,1
528с = -146,2
с = -0,277.
Підставимо значення с у рівняння (4') та визначимо значення b.
82,5b - 742,5×0,277 = -203,6
b -= (742,5×0,277 - 203,6)/82,5 = 0,025 .
Підставимо значення b і с у рівняння (1') та визначимо значення а.
10а + 45×0,025 - 285×0,277 = 402,8
а = (402,8-45×0,025+285×0,277)/10 = 48,06 .
Перевірка: Підставимо значення а, b і с у рівняння (2').
45×48,06 + 285×0,025 - 2025×0,277 = 1609,0
1608,9 ≈ 1609,0
Таким чином, лінія регресії залежності загальної органолептичної оцінки охолодженої страви "яловичина в кисло-солодкому соусі" (в балах по 50-бальній системі) від терміну зберігання її у функціональних ємкостях (в добах) має вигляд
у = 48,06 + 0,025х − 0,277х2. (5.22)