5.5. Обчислення оцінок невідомих параметрів лінійної функції регресії

Приклад 5.1. При пошуку додаткових сировинних ресурсів фер­ментів, які пом'якшують жорстке м'ясо, були проведені досліджен­ня активності протеолітичних ферментів підшлункової залози курей при різних значеннях рН середовища. Одночасно, для порівняння, в тих же умовах виміряли активність медичного панкреатину [21].

Се­редні значення активності ферментних препаратів, які визначені віскозиметричним методом на розчинах желатину, при фіксованих значеннях рН середовища наведені в таблиці 5.1.

Таблиця 5.1 − Протеолітична активність ферментних препаратів (в од.)

Ферментний препарат	рН середовища
	3	4	5	6	7	8	9
Медичний панкреатин	9,0	17,5	22,5	27,5	33,5	42,0	46,5
Екстракт підшлункової залози курей	12,0	21,0	29,0	32,0	39,0	45,5	51,0

На рисунку 5.1 наведені кореляційні поля показників, що контролюються в дослідженні. Як видно, зв'язок між активністю фер­ментних препаратів та рН середовища лінійний.

Задача полягає в тому, щоб шляхом статистичних розрахунків обчислити коефіцієнти лінійної регресії у = а + bх , яка найкра­щим чином описувала б експериментальні дані, тобто сума квадра­тів відхилень експериментальних точок від проведеної прямої вздовж осі ординат була б мінімальною.

Коефіцієнти а і b визначаються при розв'язанні системи нормальних рівнянь (5.9) чи по формулам (5.14) і (5.15). Необхідні статистичні розрахунки для обчислення коефіцієнтів лінії регресії виконаємо в табличній формі (таблиця 5.2).

Рисунок 5.1 – Кореляційні поля ферментних препаратів

Таблиця 5.2 – Статистичні дані обчислення коефіцієнтів лінії регресії

і	Х	у1	у2	х у1	х у2	х2
1	3	9,0	12,0	27,0	36,0	9
2	4	17,5	21,0	70,0	84,0	16
3	5	22,5	29,0	112,5	145,0	25
4	6	27,0	32,0	165,0	192,0	36
5	7	35,5	39,0	248,5	273,0	49
6	8	42,0	45,5	336,0	364,0	64
7	9	46,5	51,0	418,5	458,0
	42	200,5	229,5	1377,5	1553,0	280

Підставимо в систему (5.9) дані таблиці 5.2 i вирішимо її.

1 2

7a + 42b = 200,5 7a + 42b = 229,5

42a + 280b = 1377,5 42a + 280b = 1553,0

Помножимо перше рівняння в цих системах на 6, виключимо а i визначимо значення b.

42а + 252b = 1203,0 42а + 252b = 1377,0

42а + 280b = 1377,5 42а + 280b = 1553,0

28b = 174,5 28b = 176,0

b₁ = 174,5/28 = 6,23 ; b₂ = 176,0/28 = 6,29 .

Підставимо в перше рівняння системи значення b та обчислимо значення а.

7а + 42×6,23 = 200,5 7а + 42×6,29 = 229,5

а₁ = (200,5-42×6,23)/7 = -8,74; а₂ = (229,5-42×6,29)/7 = -4,95.

Перевірка:

42×(-8,74)+280×6,23 = 1377,5 42×(-4,96)+280×6,29 = 1553,0 1377,3 ≈ 1377,5 1553,3 ≈ 1553,0

Визначимо параметри рівняння регресії для активності ферментних препаратів, використовуючи формули (5.14) та (5.15) та дані таблиці 5.2.

1. а = (200,5×280 −1377,5×42)/(7×280 – 42²) = -8,75 ; b = ( 7×1377,5 −42×200,5)/(7×280 – 42²) = 6,23 ;

2. а = (229,5×280 −1553,0×42)/(7×280 −42²) = -4,93 ; b = ( 7×1553,0 −42×229,5 )/(7×280 −42²) = 6,29 .

Перевірка:

42×(-8,75)+280×6,23 = 1377,5 42×(-4,93)+280×6,29 = 1553,0 1376,9 ≈ 1377,5; 1554,1 ≈ 1553,0

Незначне розходження (менш ніж 0,1%) зумовлено округленням обчислених значень a i b.

Таким чином, лінія регресії залежності активності медичного панкреатину від рН середовища має вигляд

у = 6,23х - 8,74 або , у = 6,23х - 8,75 , (5.20)

для ферментів підшлункової залози курей

у = 6,29х - 4,95 або у = 6,29х - 4,93 . (5.21)