МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЕКОНОМІКИ І ТОРГІВЛІ

імені Михайла ТУГАН-БАРАНОВСЬКОГО

КАФЕДРА ОРГАНІЗАЦІЇ ТА УПРАВЛІННЯ ЯКІСТЮ РЕСТОРАННОГО ГОСПОДАРСТВА

Топольник В.Г.

МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧНІ

МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕНЬ

КУРС ЛЕКЦІЙ

для студентів денної та заочної форми навчання

спеціальності 8.091711 "Технологія харчування"

Донецьк 2010

ЗМІСТ

ВСТУП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1 ПЕРВИННА МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧНА ОБРОБКА ЕКСПЕРИМЕТАЛЬНИХ ДАНИХ
Розділ 1. КОРОТКІ ВІДОМОСТІ З ТЕОРІЇ ПОМИЛОК ТА МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
1.1. Вимірювання величин. Точність вимірювання. . . . . . . . . . . . . . . . .	6
1.2. Випадкові величини та їх статистична характеристика . . . . . . . . . .	9
1.3. Експериментальні дослідження, їх статистична характеристика . .	16
Розділ 2. ПЕРВИННА МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧНА ОБРОБКА ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ В ТЕХНОЛОГІЇ ПРОДУКТІВ РЕСТОРАННОГО ГОСПОДАРСТВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	29
2.1. Основні етапи первинної обробки експериментальних даних. . . . .	29
2.2. Обчислення основних числових статистичних характеристик вибірки та їх суттєва інтерпретація . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	31
2.3. Перевірка статистичних гіпотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	33
2.3.1. Відсів грубих похибок	35
2.3.2. Перевірка однорідності декількох вибірок початкових даних	40
2.3.3. Перевірка гіпотези про значущість різниць двох середніх . . .	45
2.3.4. Перевірка гіпотези нормальності розподілу експериментальних даних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	47
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2 МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ ПАРНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ ДОСЛІДНИХ ДАНИХ
Розділ 3. СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ ПАРНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ	58
3.1. Види залежностей величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	58
3.2. Загальні поняття про статистичні методи аналізу парних залежностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	61
Розділ 4. КОРЕЛЯЦІЙНИЙ АНАЛІЗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	66
4.1. Загальні поняття . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	66
4.2. Статистична оцінка кореляційного зв'язку між показниками, які контролюються . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	68

Розділ 5. РЕГРЕСІЙНИЙ АНАЛІЗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	87
5.1. Загальні поняття . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	87
5.2. Загальна схема регресійного аналізу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	89
5.3. Вибір загального вигляду функції регресії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	90
5.4. Метод найменших квадратів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	91
5.5. Обчислення оцінок невідомих параметрів лінійної функції регресії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	95
5.6. Обчислення оцінок невідомих параметрів квадратичної функції регресії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	98
5.7. Обчислення оцінок невідомих параметрів кубічної функції регресії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	101
5.8. Статистична оцінка адекватності рівняння регресії . . . . . . . . . . . . .	104
Розділ 6. ПІДБІР ЕМПІРИЧНИХ ФОРМУЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	110
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 3 БАГАТОЧИННИКОВІ ЕКСПЕРИМЕНТИ
Розділ 7. БАГАТОЧИННИКОВІ ЕКСПЕРИМЕНТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	120
7.1. Загальні поняття . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	120
7.2. Планування порівняльних експериментів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	122
7.3. Планування екстремальних експериментів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	127
7.4. Статистична обробка та інтерпретація результатів екстремального експерименту . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	134
7.4.1. Обчислення дисперсії експерименту . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	134
7.4.2. Обчислення значень коефіцієнтів функції відгуку параметра оптимізації . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	136
7.4.3. Перевірка адекватності функції відгуку параметра оптимізації . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	138
7.4.4. Перевірка значущості коефіцієнтів множинної функції регресії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	141
7.4.5. Інтерпретація результатів експерименту . . . . . . . . . . . . . . . .	142
ЛІТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	154

ВСТУП

Для науково-технічного прогресу в технології ресторанного господарства немає необхідності доказувати важливість експеримен­тальних досліджень. Експерименти - могутній засіб отримання но­вих знань, являються обов'язковою умовою удосконалення виробниц­тва, підвищення якості продукції.

Ще майже сторіччя тому російський статистик А.А.Чупрунов вказував на те, що прагнення наукового знання втілюватись в статистичні форми складає його характерну рису. Він вважав, що розвиток нау­ки йде під знаком інтересу до масових явищ і незабаром не буде такої галузі знань, в якій з більшим чи меншим успіхом, не роз­повсюджували б свій вплив статистичні форми знання.

Одержані в науковій діяльності досвід та знання значно змінили наші погляди на роль та значення кількісної інформації. Опанування статистичним складом мислення є доброю гарантією успіху в більш глибшому вивченні оточуючої нас дійсності.

Статистика - це наука, яка займається розробкою методів збирання і обробки спостережуваних однорідних об’єктів з метою вивчення закономірностей змін і взаємного впливу явищ та процесів. Її можна визначити як науку прийняття розумних рішень перед обличчям невизначеності. Статистика виконує дві основні функції: описуючу та пояснюючу. Цінність описуючої статистики полягає понад усім у тому, що вона дає стислу і концентровану характеристику явища, яке вив­чається. Важливість пояснюючої статистики полягає в тому, що в умовах невизначеності рішення приймаються на підставі статистич­них висновків.

Використання навчального посібника допоможе уникнути деяких методичних помилок у постановці експериментів та зборі інформа­ції, значно зменшити матеріальні та трудові витрати на експери­ментальну частину досліджень, одержати в результаті математико-статистичної обробки результатів експерименту кількісні спів­відношення величин, що вивчаються, придатних для прогнозу та управління.

Одним з основних етапів будь-якого експерименту є статистична обробка даних. У зв'язку з підвищенням вимог до якості проведення експериментів та їх економічності, за останні роки значно зросла увага експериментаторів до вивчення та широкого практичного застосування статистичних методів обробки одержаних даних. В остаточному підсумку статистична обробка спрямована на побудування математичної моделі об'єкта чи явища, що досліджуєть­ся, яка поєднує як апріорну, так і експериментальну інформацію. В залежності від мети експерименту (дослідження, управління, контроль) математична модель може бути використана по різному: для предметно-змістового аналізу, для прогнозування стану об’єкта чи явища, для управління ним або оптимізації його параметрів, для кон­тролю стану або працездатності об’єкта.

Застосування статистичних методів обробки експериментальних даних вимагає знання основних положень теорії ймовір­ності та математичної статистики. Для вивчення статистичних методів обробки спостережень необхідно витратити деякий час та прикласти зусилля, однак ці витрати окупляться за рахунок еконо­мії коштів та часу при постановці експериментів та обробці їх результатів.

Вартість обробки експериментів складає незначну частину вартості експерименту в цілому, але значно може підвищити цінність одержаних результатів. Часто цьому питанню не приділяють достатньої уваги, і нерідкі випадки, коли результати громіздких, дорогих експериментів не піддаються навіть найпростішій обробці, і при цьому втрачається велика кількість корисної інфор­мації.

Застосування математико-статистичних методів при аналізі одержаних у експерименті даних зумовлене тим, що ці дані інтерпретуються як випадкова вибірка деякої генеральної сукупності або як експериментальні (спостережені) значення випадкової ве­личини, що аналізується.

Одним з кращих методів опанування матеріалом є самостійне рішення задач. В навчальному посібнику викладення необхідної поня­тійної інформації супроводжується прикладами із конкретних нау­кових робіт, що допоможе дослідникові в аналогічних ситуаціях інтерпретувати приведені приклади у власних технологічних експериментах.

Змістовий модуль 1 первинна математико-статистична обробка експериметальних даних

Розділ 1. Короткі відомості з теорії помилок та математичної статистики

1. Вимірювання величин. Точність вимірювання

Приклад 1.1. В лабораторії фізико-хімічного аналізу науково-дослідного інституту громадського харчування (м. Москва) при дослідженні мінерального складу каші манної рідкої в деся­тикратній повторності визначали вміст натрію [11]. Були одержали такі результати: 257,2; 169,7; 216,0; 209,1; 233,4; 193,0; 190,6; 185,0; 181,5 мг на 100г каші. Як видно, результати ок­ремих вимірювань відрізняються один від одного.

Кожне конкретне вимірювання дає лише приблизне значення вимірюваної величини, істинне значення якої нам невідоме. Це пояснюється як принципово обмеженою можливістю точності вимірювання, так і природою самої вимірюваної величини (об'єкта). Різниця між результатом вимірю­вання та істинним значенням величини, що вимірюється, називається помилкою вимірювання. Досвід показує, що ні одне вимірювання, як би ретельно воно не проводилось, не може бути абсолютно вільним від помилок. "Помилка" в науковому вимірюванні означає неминучу похибку, яка супроводжує всі вимірювання. Помилка вимірювання, як правило, невідома, як і істинне значення величини, що вимірюється.

Одною з основних задач мате­матичної обробки результатів експерименту як раз і є оцінка дій­сного значення величини, що вимірюється за результатами, які одержуються. Інакше кажучи, після неодноразового вимірювання ве­личини і отримання ряду результатів, кожен з яких містить деяку невідому помилку, ставиться задача обчислення приблизного зна­чення величини з можливо меншою помилкою. Теорія помилок - наука, яка займається вивченням та оцінкою похибок у вимірах.

Аналіз похибок, або "помилок", є важливою час­тиною будь-якого наукового експерименту. Коректний спосіб представлення результату вимі­рювання полягає в тому, що експериментатор вказує свою найкращу оцінку величини, що вимірюється, та інтервал, в якому, як він впевнений, вона лежить:

(виміряна величина х ) = х_найкр. ± δ_х . (1.1)

Число δ_х називається похибкою або помилкою у вимірюванні х. Правильне значення величини, що вимірюється, лежить десь між найменшим та найбільшим значенням, а найкращою її оцінкою буде се­реднє значення.

Статистичні методи, що застосовуються для обробки результатів многократних вимірювань, дають більш правильну оцінку по­хибки - об’єктивну величину, яка не залежить від думки індиві­дуального спостерігача, та меншу, ніж повний інтервал між най­меншим та найбільшим значеннями, які спостерігаються.

Абсолютна похибка сама по собі ще не визначає точності вимірювань. Для оцінки точності вимірювань вводиться поняття від­носної похибки, яка дорівнює відношенню абсолютної похибки ре­зультату вимірювань до результату вимірювань х_найкр.:

. (1.2)

Відносна похибка, яка є безрозмірною величиною, приблизно характеризує якість вимірювань незалежно від значення величини, що вимірюється.

За міру точності вимірювання приймають величину, зворотну ε. Таким чином, чим менша відносна похибка ε , тим вища точ­ність вимірювань. Відносна похибка в 1...2% характеризує досить точні вимірю­вання.

Для фізичних (інженерних) експериментів відносна похибка в 10% або близько цього - це, як правило, характеристика досить грубих вимірів. Однак при аналізі хімічного складу, при вимірюванні структурно-механічних властивостей харчових продуктів та кулі­нарних виробів похибка в 10% не розглядається як результат гру­бих вимірів.

Так на хімічний склад м'яса впливає вид та порода скота, його стать, вік, вгодованість та інші чинники. По даним [19], в яловичині міститься білків 16,2...19,5%, вологи - 55...69%, жиру - 11...28%, мінеральних речовин - 0,8...1,0%. Наведені дані свід­чать, що коливання харчових речовин складають близько 10%. Таким чином, велика відносна похибка не означає, що вимірювання в науковому сенсі безкорисне.

Якщо вимірювання можна повторити, його слід повторити як для одержання більш точного результату (при усередненні), так і, що навіть важливіше, у зв'язку з можливістю оцінити похибку.

На практиці, якщо бажають значно підвищити точність вимі­рювань, як правило, удосконалюють вимірювальні засоби (методи, апаратуру), а не сподіваються на збільшення кількості вимірю­вань, оскільки абсолютна похибка середнього значення зменшується досить повільно із збільшенням кількості вимірювань.

Розрізняють три види помилок вимірювань.

1. Промахи - помилки, які є результатом грубих помилок, низької кваліфікації особи, яка проводить вимірювання, недбалості та нечіткості в роботі або несподіваних зовнішніх впливів на вимірювання. Як правило, ретельні вимірювання та контроль за ними дозволяють або повністю уникнути промахів, або розпізнати вимірювання, яке є наслідком таких промахів, та виключити їх.

2. Систематичні - такі помилки, які в даних умовах проведення вимірювань мають цілком визначене значення (наприклад, помилка вимірювального приладу, точність хімічного методу).

3. Випадкові - такі помилки, які є результатом взаємодії великої кількості незначних окремо чинників і мають у кожному окремому випадку різні значення. Випадкові помилки є помилками, які не ліквідуються, їх не можна виключити із результатів вимірювань, але за допомогою методів теорії ймовірності можна врахувати їх вплив на оцінку дійсного значення величини, яка вимірю­ється, що дозволяє визначити її значення із значно меншою помил­кою, ніж помилки окремих вимірювань.

Слід мати на увазі, якщо випадкова похибка (помилка), яка одержана з результатів вимірювань, виявиться значно менше похибки, яка визначається точністю приладу (методу), то очевидно, що немає сенсу намагатися ще зменшити величину випадкової похибки - все рівно результати вимірювань не стануть від цього точніші. Навпа­ки, якщо випадкова похибка більше систематичної, то вимірювання слід провести декілька разів, щоб зменшити значення випадкової похибки для даної серії вимірювань, та зробити цю похибку меншою або одного порядку з систематичною похибкою (приладу, методу та ін.).

Задача математичної статистики - передбачити можливість ви­никнення промахів та систематичних помилок і досягти їх ліквіда­ції або зведення до мінімуму.