4.3 Санкт-Петербурзький парадокс

Цей факт був з переконливістю продемонстрований Ніколасом Бернуллі в 1728 році на прикладі, що дістав назву Санкт-Петербурзького парадоксу. Припустимо, хто-небудь запропонував Вам підкидати монету доти, поки не випаде герб, і заплатити $1, якщо герб випаде при першому підкиданні, $2 - при другому, $4 - при третьому, $8 - якщо треба було чотири підкидання, і т.д. Від якого максимального платежу, що можна одержати напевно, Ви б погодилися відмовитися, щоб взяти участь у грі один раз?

У цій грі, Ви можете виграти $1 з імовірністю 1/2; $2 з імовірністю 1/4; і т.д. Очікуваний виграш дорівнює:

(1/2)*$1+(1/4)*$2+(1/8)*$4+…=$0,5+$0,5+$0,5+…=$...

Однак навіть перспектива випробувати свою удачу і виграти “купу” грошей, навряд чи, виявиться для більшості настільки привабливої, щоб відмовитися від, скажемо, $20, що складає велику різницю з очікуваним значенням - нескінченністю. Рішення цього парадокса, що покладено в основу сучасної теорії прийняття рішень в умовах ризику, було запропоновано в 1738 році незалежно Габріелем Крамером і Даніелем Бернуллі.

Даніель Бернуллі

Бернуллі звернув увагу на те, що ще один долар для мільйонера мав би меншу корисність, ніж для бідняка. У своєму есе24 він припустив, що функція корисності грошей має логарифмічний вигляд. Такий вид не суперечив однієї з основних посилок раціональності в економіці, що "більша кількість багатства переважна меншій кількості", а властивості

логарифмічної функції відбивають сталість такого відношення до багатства. мовою математики. Якщо функцію корисності позначити через U(x), ці дві вимоги еквівалентні:

U'(x) > 0; і U''(x) < 0. (4.3)

Другу умову називають принципом спаду маргінальної корисності.

Вважаючи, що виграш $1000 необов'язково буде цінуватися в десять разів більше, ніж виграш $100, Крамер і Бернуллі висловили припущення, що корисність кількості грошей (багатства) для людини можна описати деякою функцією U(x) і, що азартна гра буде оцінюватися на основі її очікуваної корисності

, (4.4)

а не по очікуваному виграшу. Наприклад, якщо функція корисності має логарифмічний вигляд U(x)=ln(x), то еквівалентна грошова винагорода, що приносить таке ж задоволення, як і участь в азартній грі, знаходиться з вирішення рівняння

ln(w+) = (1/2)ln(w+1) + (1/4)ln(w+2) + (1/8)ln(w+4) + …(4.5)

де w – початкове багатство людини;

 - еквівалентна грошова винагорода за неучасть в грі.

У випадку, коли w = $1000, то людина виявить байдужність до участі в азартній грі і до одержання суми біля $6; (для w = $50,000 така сума складає біля $9). Звичайно, для іншої функції корисності еквівалентний грошовий виграш буде іншим.

Якщо, наприклад, функція корисності має вигляд , (таку функцію часто використовують у фінансовому менеджменті, через те, що не потрібно запитувати про рівень багатства у особи, яка приймає рішення) то отримаємо:

Можна показати, що межа цієї суми прямує до . Це значення і є очікуваною корисністю грошової ціни гри. Оскільки, корисність є квадратним коренем від суми грошей, то гравець не бажатиме платити більш ніж $5,83 за участь у грі.

Подивимося як зміниться рішення наведеного вище приклада, якщо використовувати принцип максимізації очікуваної корисності виграшу в якості критерію вибору альтернативи.

Покладемо , тоді платіжна матриця матиме вигляд:

	S1	S2	E[U(A)]
A1	24,49	20	22,25
A2	17,32	28,28	22,8
p	1/2	1/2

Виконав розрахунки знайдемо:

E[U(A₁)] = 24,49*1/2 + 20*1/2 = 22,25;

E[U(A₂)] = 17,32*1/2 + 28,28*1/2 = 22,8.

Оскільки E[U(A₂)] > E[U(A₁)], то відповідно до обраного підходу варто вибрати дію A₂.

Використання критеріїв вибору альтернатив на основі максимізації очікуваного виграшу припустимо у випадку нейтрального відношення до ризику особи, яка приймає рішення. В наступному розділі ми розглянемо як використовувати функцію корисності для прийняття рішень у разі схильності, або несхильності до ризику. Поки приймемо до уваги, що обидва розглянутих критерії можна застосовувати лише у випадках багаторазово повторюваних рішень у незмінних умовах, або якщо трохи пом’якшити, у разі можливості визначити ймовірності, або оцінити правдоподібності випадкових подій. У ситуації разового вибору особа, яка приймає рішення може користуватися так званими “вирішальними правилами” та додатковими міркуваннями. Незважаючи на певні недоліки обох критеріїв прийняття рішень, вони набули значного поширення в практиці завдяки зручності та простоті використання. У поєднанні з методом побудови дерева рішень ці критерії відомі багатьом з курсів менеджменту.

Питання для самоконтролю:

1. Наведіть постановку задачі вибору за умов ризику?

2. Які два найбільш поширених правила здійснення вибору за умов ризику Вам відомі?

3. В чому полягає сутність Санкт-Петербурзького парадоксу?

4. За яких умов або припущень можливо користуватися обома правилами порівняння альтернатив?

5. Що робити якщо ці припущення не дотримуються?