О пис проблеми

Нафтова розвідувальна партія повинна вирішити, чи бурити свердловини на даній ділянці до того, як мине термін контракту, чи ні. Для керівника неясні багато речей: скільки коштуватиме буравлення, на які запаси нафти в цьому місці можна розраховувати, скільки буде коштувати експлуатація свердловини і т.д. У його розпорядженні маються об'єктивні дані про аналогічні чи не цілком аналогічні свердловини цього ж району, і вони вже обговорили особливості свого положення з геологом, геофізиком і земельним агентом. За допомогою сейсмічної розвідки вони можуть одержати додаткову інформацію про можливу наявність нафти, що прийдеться дуже до речі, але все-таки не дасть вичерпних даних про геофізичну структуру ділянки, що розвідується. Одержання цієї інформації до того ж дуже недешево, і ще до того, як буде прийняте остаточне рішення бурити або не бурити, необхідно вирішити, чи варто збирати ці відомості, чи ні.

Постановка задачі:

К ерівник пошукової бурильної бригади повинний вирішити: або бурити свердловину (дія А₁), або не бурити (дія А₂). Він не впевнений, чи буде свердловина "сухою" (стан ₁), "бідною" (стан ₂) чи "багатою" (стан ₃). Відповідні платежі приведені в таблиці 1.

Таблиця 1

Грошові платежі

Стан	Дія
	А1	А2
Суха (1)	-$70,000	$0
Бідна (2)	$50,000	$0
Багата (3)	$200,000	$0

Виходячи з наявного досвіду, керівник припускає, що вартість буравлення свердловини дорівнює $70,000. Чистий прибуток бригади за умови ("бідна", А₁) дорівнює $50,000. Ця сума виходить після відрахування витрат на буравлення в $70,000 з доходу в $120,000. Аналогічно, $200,000 - теж сума чистого прибутку: вона виходить з доходу в $270,000 за винятком $70,000 на буравлення.

За плату в $10,000 керівник може провести сейсмічну розвідку (експеримент Е₁), що допоможе визначити геологічну структуру ділянки. Розвідка покаже, що, або ґрунт не має структури (результат Н.С.) - і це погано, або має відкриту структуру (результат О.С.) - що не дуже добре, або має замкнуту структуру (результат З.С.) - що вже вселяє надію. Геофізики повідомили спільні ймовірності цих подій, що приведені в таблиці 2.

Таблиця 2

Спільні та безумовні імовірності

Стан	Дані сейсмічної розвідки			Безумовна ймовірність стану
	Н.С.	О.С.	З.С.
Суха (1)	0,30	0,15	0,05	0,50
Бідна (2)	0,09	0,12	0,09	0,30
Багата (3)	0,02	0,08	0,10	0,20
Безумовна ймовір­ність даних сейсмі­чної розвідки	0,41	0,35	0,24	1,00

Ця задача є типовим прикладом прийняття рішень за умов ризику. Ми розглянемо як вирішувати аналогічні проблеми за допомогою метода, що одержав назву дерево рішень.

Рисунок 1 - Функція корисності виграшів

Дерево рішення це графічне відображення проблеми вибору в умовах ризику. Зображення можливих альтернатив та їх наслідків має деревоподібну структуру. Цей метод зручно застосовувати при поетапному прийнятті рішень. Дерево складається з ряду вузлів і гілок, що виходять з вузлів. Вузли, зображувані у виді квадратів, позначають точку прийняття рішення, а вузли, зображувані у виді кіл - можливі події. Уздовж гілок пишуть назви альтернатив, їхні ймовірності, платежі за додаткову інформацію. Біля кінців гілок розставляють платежі.

Рисунок 2 - Дерево рішень для проблеми буравлення свердловини

Дерево будується зліва направо, а аналізується навпаки, починаючи з кінцевих гілок і прямуючи до кореню. В кожному з вузлів-рішень вибирається альтернатива (гілка) з максимальним показником віддачі, наприклад, найбільшою очікуваною сумою виграшу. Якщо ми бажаємо використати принцип максимізації очікуваної корисності, то треба перенести всі проміжні платежі (в даному разі це плата за сейсмічну розвідку) до кінцевих гілок, а потім замінити суми виграшів на відповідні значення корисності.

Рисунок 3 - Приклад вирішення задачі про буравлення свердловини

Визначте з графіку (рис.1), що побудовано за результатами анкетування керівника партії, значення корисності грошових сум та зробить рішення задачі згідно критерію максимізації очікуваної корисності виграшу. Порівняйте результати обох рішень. Чому у обох випадках ми отримали результати, що на перший погляд не відповідають дійсному поводженню пошукових партій? (Можливо Ви зможете відповісти на це питання після вивчення матеріалу про ціну інформації.)

Додаток 7.

Оцінка ризику інвестиційного проекту методом імітаційного моделювання⁵¹

Розповсюджені фінансові показники, на основі яких приймається рішення про доцільність реалізації проекту, побудовані на основі крапкових оцінок по найбільш правдоподібним даним. Одержувана оцінка також є крапковою і не дає адекватної інформації про інвестиційний ризик проекту. Перехід від крапкових оцінок до розподілів імовірностей невизначених перемінних і використання методу імітаційного моделювання дозволяє одержати більш повну інформацію про ризик.

Оцінка фінансової привабливості проектів здійснюється з використанням широко розповсюджених показників, таких як приведена вартість проекту, внутрішня норма прибутковості, модифікована внутрішня норма прибутковості, про що вже неодноразово писалося в багатьох публікаціях журналу. Реалізація будь-якого проекту зв'язана з визначеним ступенем різних ризиків, що породжуються, серед іншого, невизначеністю факторів безпосереднього бізнес оточення підприємства.

Облік ризиків, зв'язаних з реалізацією інвестиційного проекту, як правило, здійснюється декількома способами. Можна виконати експертну оцінку ризику проекту і включити його величину в коефіцієнт дисконтування. У цьому випадку, математична модель оцінки проекту виглядає як:

, (1)

де k - коефіцієнт дисконтування з урахуванням факторів ризику.

Більш витончений спосіб припускає зменшення грошових потоків доходів майбутніх періодів на зростаючий коефіцієнт, що відбиває ступінь невизначеності у величинах очікуваних доходів. Така модель має вид:

, (2)

де _i - зазначений коефіцієнт, (0 < _i < 1).

Не вдаючись в обговорення всіх "за" і "проти", як самих критеріїв, так і запропонованих оцінок, відзначимо лише один загальний і істотний недолік. Він полягає в крапковому оцінюванні невизначених параметрів, що входять у будь-яку з обраних моделей і, отже, результат також являє собою деяке середнє значення.

Шлях підвищення інформативності результатів моделювання полягає в репрезентації невизначених перемінних у вигляді щільностей ймовірностей і пошуку цільовий перемінної також у формі функції щільності розподілу. Для реалізації цієї ідеї широко застосовується метод імітаційного моделювання, добре відомий з технічних прикладів. Технологія застосування таких методів для економічних розрахунків була викладена Девідом Герцем [1] у 1964 році в статті "Аналіз ризику капітальних інвестицій", що увійшла через п'ятнадцять років, у фонд класичних публікацій журналу Harvard Business Review.

Представлення фінансових показників привабливості проекту у вигляді, наприклад, інтегральної щільності імовірності дає більш глибоке розуміння ризику, зв'язаного з реалізацією проекту, і дозволяє дати відповідь на питання - яка імовірність того, що прибуток буде лежати в зазначеному діапазоні значень.

Найбільші труднощі виникають на етапах представлення параметрів моделі у виді функцій розподілу щільностей ймовірностей і безпосередньо, при виконанні розрахунків.

Останнім часом з'явилась значна кількість програмних продуктів, що дозволяють не поглиблюючи в тонкості програмування будувати моделі і виконувати імітаційні розрахунки. До числа популярних спеціалізованих пакетів відносяться такі як "Crystal Ball PRO" і "Analytіca" фірми Lumina (www.lumina.com), "Stella" фірми Hіgh Performance Systems Іnc. (www.hps-іnc.com). Більш-менш легко, подібні обчислення можна реалізувати програмами універсального призначення, такими як "MathLab" фірми MathWorks Іnc. (www.mathlab.com), "MathCAD" фірми MathSoft Іnc. (www.mathsoft.com), і навіть, за допомогою електронних таблиць.

Розглянемо рішення типової задачі про інвестиційну привабливість проекту методом імітаційного моделювання за допомогою програми "Analytіca".

Виробник хімічної продукції розглядає питання про доцільність інвестиції $10,000,000 у розширення заводу. Підприємство переробляє сировина вартістю $435/тонна і продає зроблену продукцію за $510/тонна. Обсяг ринку даної продукції 250,000 тон/рік. Коефіцієнт росту ринку 3%. Частка ринку компанії 12%. Термін експлуатації устаткування відповідно до технічних характеристик дорівнює 10 рокам. Через 10 років залишкова вартість інвестиції складе $4,500,000. Щорічні фіксовані витрати на функціонування заводу складають $300,000.

Для відповіді на поставлене питання необхідно виконати обчислення чистої приведеної вартості проекту по формулі (1). Дані, необхідні для розрахунків, отримані за результатами опитування менеджерів компанії, наведені в таблиці 1.

Для кожної з невизначених змінних моделі наведені три експертні оцінки: найбільш правдоподібна, оптимістична і песимістична. На основі отриманих оцінок, а також на підставі експертних міркувань були побудовані графіки щільностей розподілів імовірностей рис. 7.1, що потім використовуються при імітаційному моделюванні.

Таблиця 1.

Основні дані для проведення розрахунків.

№	Назва параметру	Од. вим.	Min зн.	Очік. зн.	Мах зн.
Аналіз ринку
1	Розмір ринку	тон	100000	250000	340000
2	Відпускна ціна	дол./т	385	510	575
3	Коеф. росту ринку	%	0%	3%	6%
4	Можлива частка ринку	%	3%	12%	17%
Аналіз інвестиційних витрат
5	Початкова інвестиція	дол.	7500000	10000000	11000000
6	Термін життя проекту	років	5	10	15
7	Залишкова вартість інвестиції	дол.	3500000	4500000	5000000
Інші перемінні
8	Перемінні витрати	дол./т	370	435	545
9	Постійні витрати	дол./рік	250000	300000	375000
10	Коеф. дисконтування	%	9%	10%	15%

Для відповіді на питання про доцільність інвестиції можна використовувати метод обчислення чистої приведеної вартості. У цьому випадку, формула (1) може бути перетворена до наступного виду:

(3)

де NPV – чиста теперішня вартість інвестиційного проекту;

PV(I_n) – приведене значення залишкової вартості інвестиції;

I₀ – початкова інвестиція; I_n – залишкова вартість інвестиції;

P – відпускна ціна; VC – перемінні витрати;

FMS – частка ринку компанії; MS – розмір ринку;

FC – постійні витрати; MGR – коеф. росту ринку;

k – коефіцієнт дисконтування.

Відпускна ціна / Beta(3.8, 2, 385, 575)	Розмір ринку / Beta(3.5, 2, 100K, 340K)
Річний зріст ринку / Normal(0.03, 8.5m)	Частка ринку комп / Beta(4, 2, 0.03, 0.17)
Пост. витрати / Beta(1.8, 2.7, 250K, 375K)	Змінні витрати / Beta(2.4, 4, 370, 545)
Термін життя проекту / Normal(10, 1.5)	Інвестиція / Beta(6, 3.8, 7.5M, 11M)
Залишкова вартість інвестиції / Beta(3, 1.5, 3.5M, 5M)	Коефіцієнт дисконтування / Beta(1, 3, 0.09, 0.15)

Рисунок 7.1 - Щільності розподілів змінних моделі

Рисунок 7.2 - Діаграма зв'язків змінних моделі

Рисунок 7.3 - Інтегральна щільність імовірності теперішньої вартості проекту

Математична модель (3) зображена на рис. 7.2 за допомогою нотації діаграм впливу [2], що застосовується в програмі Analytіca. В результаті імітаційного моделювання одержуємо інтегральну щільність імовірності чистої теперішньої вартості проекту, рис. 7.3.

Інструкція зі створення моделі.

Крок 1.

Встановити на комп’ютері програму "Analytica". Її демонстраційну версію, що дозволяє використання на протязі 30 днів, можна отримати безкоштовно для ознайомлення, заповнивши реєстраційну форму на сайті компанії Lumina за адресою http://www.lumina.com. Також там можна отримати інструкції щодо використання програми, та подивитися приклади її застосування, якщо буде необхідно.

Рисунок 7.4 - Діалогове вікно для створення нової моделі

Крок 2.

Запустивши програму "Analytica" ви побачите екран, зображений на рис. 7.4. Тут вам пропонується створити нову модель. У діалоговому вікні треба вказати⁵²:

1. назву моделі (ідентифікатор не більш 20 символів), наприклад, "Hertz".

2. короткий опис моделі і зроблених допущень, наприклад, "Probabilistic model for calculating Net Present Value of the investment project, D. Hertz (1964)" (ймовірністна модель для обчислення чистої поточної вартості інвестиційного проекту, що описана у Д. Герца (1964)).

3. повну назву моделі (може складатися з кількох слів), наприклад, "Investment decision under uncertainty" (прийняття інвестиційного рішення в умовах невизначеності)

Рисунок 7.5 - Створення вузла моделі в програмі "Analytica"

К рок 3.

Натискаючи кнопку "Діаграма" ви переводите програму "Analytica" у режим побудови діаграм впливу. Побудуйте діаграму впливу, що моделює проблему. Для цього необхідно перетягнути потрібні вузли з лінійки інструментів у поле діаграми, а потім з'єднати їх стрілками зв'язків (рис. 7.5).

По завершенні розставляння вузлів у вікні "Діаграм" ваш екран може виглядати аналогічно приведеному на рис. 7.2. При розміщенні вузлів, плануйте, що надалі ви будете з'єднувати їх зв'язками-стрілками, і бажано, щоб стрілки не перетиналися, а модель виглядала красиво. В наведеній моделі використані вузли випадкових величин, що зображуються у виді овалів; вузли перемінних, в яких можна записувати формули, що зображуються у виді прямокутників з округленими кутами, один вузол моделі, що містить цільову змінну моделі - чисту поточну вартість проекту, який зображено у вигляді шестигранника, та ще один вузол - для розміщення індексної змінної - поточний рік, відображається у вигляді паралелограма. Останній вузол відноситься до всіх вузлів моделі, тому стрілки з іншими вузлами не з'єднується.

Крок 4.

Після розміщення усіх вузлів у вікні побудови діаграм, їх необхідно з'єднати зв'язками - стрілками. Натисніть кнопку зі стрілкою вправо на панелі інструментів. Потім клацніть на вузол, із якого виходить стрілка, і протягніть до потрібного вузла. Між елементами моделі з’явиться зв’язок. З'єднаєте усі вузли так як це зроблено на діаграмі (рис. 7.2).

Крок 5.

Тепер потрібно присвоїти значення всім змінним моделі. Зробить подвійний клік на вузлі "Selling Price". Відчиниться вікно редагування об'єкта, таке, як наведено на рис. 7.6.

Рисунок 7.6 - Вікно редагування об’єкту

Рисунок 7.7а - Діалог опису величини

Введіть одиницю виміру величини та її опис. Відповідні операції зображені на рис. 7.7а,б. Перейдіть у вікно "Діаграм". Штрихування з вузла зникнуть, що означає, що йому привласнені всі значення, що вимагаються.

Рисунок 7.7б - Діалог уведення параметрів

Рисунок 7.8 – Обчислення значення змінної за формулою

С лід зазначити, що значення деяких змінних можуть містити математичні вирази як, наприклад, Total Market Size (загальний розмір ринку). На рис.7.8 наведене вікно редагування об'єкта для цієї змінної.

Зверніть увагу, у цьому визначенні використовується індексна змінна Year (рік). Нижче на рис.7.9 наведене визначення цієї величини.

Рисунок 7.9 - Вибір спеціальної функції для змінної.

Знову з'явиться діалог, де треба натиснути кнопку Library (бібліотека) і вибрати бібліотеку Array (масиви).

Рисунок 7.10 - Визначення індексної змінної

Вище було наведено опис присвоєння значень всіх різних типів змінних, що входять до моделі. Решту Ви маєте зробити аналогічно самостійно. Задайте найбільш критичні змінні моделі у вигляді функцій розподілів щільності імовірності. Величини, до яких цільовий показник нечутливий, можна задати константами для спрощення задачі.

Коли Ви визначите всі змінні, то у вікні діаграм не залишиться заштрихованих вузлів. Тепер можна проводити обчислення.

Рисунок 7.11 - Дії для отримання результату розрахунків.

Аналіз результатів моделювання рис. 7.3 дає значно більше інформації для рішення питання про доцільність інвестування у порівнянні з традиційними методами, заснованими на визначенні деякого середнього значення. Так, у розглянутому прикладі, імовірність понести збитки складає 40%; дістати прибуток у діапазоні від нуля до десяти мільйонів - 20%; від десяти до двадцяти мільйонів - 20%; і понад двадцять мільйонів - 10%.

На закінчення, слід зазначити, що який би гарний прогноз не був, він не може застрахувати від невдачі. Однак, глибокий аналіз проблеми, виявлення критичних факторів, планування і контроль дій, своєчасне реагування на зміни середовища - це шлях, що дозволяє успішно реалізувати задумане в бізнесі й одержати необхідну винагороду за ризиковані дії.

Література:

1. Hertz David B. Risk Analysis in Capital Investment // Harvard Business Review, September/October, 1979, pp. 169-181.

2. Shachter Ross D. Evaluating Influence Diagrams // Operations Research, Vol. 34, № 6, November-December, 1986, pp.871-882

Термінологічний словник

Англійська назва терміну	Українська назва терміну	Позначка
Selling price	Ціна продукції	P
Market growth rate	Коефіцієнт росту ринку	MGR
Total market size	Загальний об'єм ринку
Company market share	Частка ринку компанії	FMS
Initial market size	Початкова частка ринку	MS
Production volume	Об'єм виробництва
Sales volume	Об'єм продажів	W
Operating costs	Експлуатаційні витрати	VC
Fixed costs	Постійні витрати	FC
Total costs	Загальні витрати
Investment	Інвестиція	Io
Life of facilities	Термін служби устаткування	n
Residual value of investment	Залишкова вартість інвестиції	In
Discount rate	Коефіцієнт дисконтування	k
Year	Рік	i
Net preset value of project	Чиста поточна вартість проекту	NPV
Cumulative probability	Інтегральна ймовірність
Chance	Випадок
Title	Назва
Definition	Визначення
Inputs	Інформація на вході
Outputs	Інформація на виході

Додаток 8

Приклад використання Методу Аналізу Ієрархій (МАІ) для вирішення задачі багатокритеріального вибору

Сім'я середнього достатку (американська) вирішила купити дім. Вони звернулися в найближче агентство нерухомості, де їм запропонували для економії часу ознайомитися з мультимедійним каталогом⁵³ житлових будівель, що пропонуються до продажу. Після віртуальної подорожі по околицях міста, вони відібрали три дому, що сподобалися їм найбільше. Задача тепер полягала у виборі одного з трьох будинків-кандидатів.

Д ім А. Це - найбільший будинок, навколо гарна околиця, рух транспорту неінтенсивний, податки на будинок невеликі. Двір більше, ніж у домів Б і В. Проте загальний стан не дуже гарний, потрібно суттєве полагодження і проведення малярських робіт. Через те, що придбання будинку фінансується банком із високою процентною ставкою, фінансові умови можна вважати незадовільними.

Д ім Б. Цей будинок трошки менше дому А, він розташований не зручно до автобусних зупинок, навколо інтенсивний рух транспорту. Будинок досить малий, і в ньому відсутні основні сучасні зручності. З іншого боку, загальний стан дуже гарний. Крім того, на будинок можна одержати заставну з досить низькою процентною ставкою; це означає, що фінансові умови цілком задовільні.

Дім В. Цей будинок дуже маленький, і в ньому немає сучасних зручностей. У місцевості - високі податки, але будинок у гарному стані і представляється безпечним. Двір більше, ніж у дому Б, однак, незрівнянно менше великого простору навколо дому А. Загальний стан дому - гарний, і в ньому красиві килими та шпалери. Фінансові умови набагато краще, ніж для дому А, але не такі гарні, як для дому Б.

Ч лени сім'ї не знали про існування яких-небудь методів прийняття багатокритеріальних рішень, та вони і слова то такого ніколи не чули. Однак Фахівець із ріалтерської фірми взявся їм допомогти. Спершу він попросив членів сім'ї визначити чинники, що їм здаються важливими для вибору дому. У результаті обговорення удалося виявити вісім критеріїв, яким, як здавалося повинен задовольняти дім.

1. Розмір дому: ємність сховищ; розміри кімнат; число кімнат; загальна площа дому.

2. Зручність транспорту: близька автобусна зупинка.

3. Місцевість: низька інтенсивність руху транспорту; безпека; гарний вид; низькі податки; доглянуті околиці.

4. Вік будівлі: не має потреби в поясненні.

5. Двір: включає простір перед домом, позаду, з боків, а також відстань до сусідів.

6. Сучасне обладнання: посудомийна машина; видалення сміття; кондиціонування повітря; система сигналізації й інші подібні пристрої, наявні в домі.

7. Загальний стан: потреба в ремонті; стіни, килим, драпіровки, чистота; електропроводка; дах; водопровідна система.

8. Фінансові умови: заставна, умови продажу і банківський кредит.

Потім, Фахівець попросив членів сім'ї відповісти на ряд питань, щоб з'ясувати переваги і недоліки кожного з трьох домів, із погляду сім'ї, а також відносну важливість кожного з критеріїв. Члени сім'ї, відповідаючи на ці питання, заповнили декілька таблиць, (що наведені нижче).

Т им часом, Фахівець, поклікав мишкою та накреслив ієрархічне уявлення проблеми вибору дому і відправив завдання на друк. Прикріпив ще теплі аркуші до дошці, він пояснив сім'ї суть подій, що відбуваються.

Щойно ми зробили декомпозицію проблеми вибору й накреслили уявлення задачі в ієрархічній формі. На першому (вищому) рівні знаходиться загальна ціль - “Дім”. На другому рівні знаходяться вісім чинників або критеріїв, що уточнюють ціль, і на третьому (нижньому) рівні знаходяться три будинки-кандидати, що повинні бути оцінені стосовно критеріїв другого рівня (див. рис.8.1).

Рисунок 1 – Декомпозиція задачі в ієрархію

Коли людина вибирає, що йому подобається більше, а що менше, вона, як правило, ніколи не використовує числа. Людина виражає свої почуття за допомогою лінгвістичних оцінок. Крім цього, людина завжди в змозі зіставити два предмети і сказати який із них подобається йому більше. Саме цей факт був покладений в основу проведення попарних порівнянь Томасом Сааті при розробці методу аналізу ієрархій (МАІ). Він запропонував використовувати для виконання порівнянь дев'ять лінгвістичних оцінок, що відбивають ступінь переваги, важливості або переваги одного елемента ієрархії над іншим. Цим лінгвістичним оцінкам поставлена у відповідність дев'ятибальна шкала відносної важливості [1] (таблиця 1).

Таблиця 1.

Шкала відносної важливості

Інтенсивність відносної важливості	Визначення
1	Рівна важливість
2	Легка перевага одного над іншим
3	Слабка перевага одного над іншим
4	Помірна перевага одного над іншим
5	Значна перевага
6	Істотна перевага
7	Сильна перевага одного над іншим
8	Дуже сильна перевага
9	Безумовна перевага
Зворотні величини наведених вище чисел: (1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; 1/7; 1/8; 1/9)	Якщо при порівнянні однієї альтернативи з іншою отримано одне з вищевказаних чисел (наприклад 3), то при порівнянні другої альтернативи з першою одержимо зворотну величину (тобто 1/3)

Коли ви заповнювали таблиці 2, 3а, 3б, 3в по суті ви виконували попарні порівняння, звернувся фахівець до сім'ї. Тепер на підставі ваших оцінок я складу спеціального виду матриці, проведу ряд нехитрих обчислень, і побачимо, який із трьох домів вам підходить найбільшою мірою з врахуванням ваших смаків і переваг.

6	5	4	3	2	1	№		Таблиця 2 Порівняйте відносну важливість (вагомість) критеріїв, задаючи питання типу: "Який із двох критеріїв переважає при виборі дому і якою мірою? " У випадку переваги критерію А над критерієм Б поставити у відповідній клітині знак "+". У випадку переваги критерію Б над критерієм А поставити у відповідній клітині знак "-".
Розміри дому і Загальний стан	Розміри дому і Сучасне обладнання	Розмір дому і Двір	Розмір дому і Вік будівлі	Розмір дому і Місцевість	Розмір дому і Зручність транспорту	Назва критерію	Інтенсивність відносної важливості
						1	Рівна важливість
						2	Легка перевага
–				+		3	Слабка перевага
						4	Помірна перевага
					+	5	Значна перевага
	+	+				6	Істотна перевага
			+			7	Сильна перевага
						8	Дуже сильна перевага
						9	Безумовна перевага

17	16	15	14	13	12	11	10	9	8	7	№
Місцевість і Загальний стан	Місцевість і Сучасне обладнання	Місцевість і Двір	Місцевість і Вік будівлі	Зручність транспорту Фінансові умови	Зручність транспорту Загальний стан	Зручність транспорту Сучасне обладнання	Зручність транспорту Двір	Зручність транспорту Вік будівлі	Зручність транспорту Місцевість	Розміри дому і Фінансові умови	Назва критерію
											1
											2
		+				+	+		–		3
	+									–	4
					–			+			5
+			+								6
				–							7
											8
											9

28	27	26	25	24	23	22	21	20	19	18	№
Загальний стан і Фінансові умови	Сучасне обладнання і Фінансові умови	Сучасне обладнання і Загальний стан	Двір і Фінансові умови	Двір і Загальний стан	Двір і Сучасне обладнання	Вік будівлі і Фінансові умови	Вік будівлі і Загальний стан	Вік будівлі і Сучасне обладнання	Вік будівлі і Двір	Місцевість і Фінансові умови	Назва критерію
											1
–					–						2
									–		3
								–			4
		–		–						–	5
	–		–								6
							–				7
						–					8
											9

8	7	6	5	4	3	2	1	№		Таблиця 3а Порівняєте відносну перевагу домів А і Б по кожному з восьми критеріїв. Питання типу: "Який із двох домів має перевагу, при порівнянні за критеріями ... і якою мірою?" У випадку переваги дому А над домом Б поставити у відповідній клітині знак "+". У випадку переваги критерію Б над критерієм А поставити у відповідній клітині знак "-".
Фінансові умови	Загальний стан	Сучасне обладнання	Двір	Вік будівлі	Місцевість	Зручність транспорту	Розмір дому	Назва критерію	Інтенсивність відносної важливості
				+				1	Рівна важливість
	–							2	Легка перевага
								3	Слабка перевага
								4	Помірна перевага
			+					5	Значна перевага
							+	6	Істотна перевага
–						+		7	Сильна перевага
		+			+			8	Дуже сильна перевага
								9	Безумовна перевага

8	7	6	5	4	3	2	1	№		Таблиця 3б Порівняєте відносну перевагу домів Б і В по кожному з восьми критеріїв. Питання типу: "Який із двох домів має перевагу, при порівнянні за критеріями ... і якою мірою?" У випадку переваги дому А над домом Б поставити у відповідній клітині знак "+". У випадку переваги критерію Б над критерієм А поставити у відповідній клітині знак "-".
Фінансові умови	Загальний стан	Сучасне обладнання	Двір	Вік будівлі	Місцевість	Зручність транспорту	Розмір дому	Назва критерію	Інтенсивність відносної важливості
	+			+				1	Рівна важливість
								2	Легка перевага
+			–					3	Слабка перевага
					–		+	4	Помірна перевага
		–						5	Значна перевага
								6	Істотна перевага
								7	Сильна перевага
						–		8	Дуже сильна перевага
								9	Безумовна перевага

8	7	6	5	4	3	2	1	№		Таблиця 3в Порівняєте відносну перевагу домів А і В по кожному з восьми критеріїв. Питання типу: "Який із двох домів має перевагу, при порівнянні за критеріями ... і якою мірою?" У випадку переваги дому А над домом Б поставити у відповідній клітині знак "+". У випадку переваги критерію Б над критерієм А поставити у відповідній клітині знак "-".
Фінансові умови	Загальний стан	Сучасне обладнання	Двір	Вік будівлі	Місцевість	Зручність транспорту	Розмір дому	Назва критерію	Інтенсивність відносної важливості
				+				1	Рівна важливість
	–							2	Легка перевага
								3	Слабка перевага
			+					4	Помірна перевага
–						–		5	Значна перевага
		+			+			6	Істотна перевага
								7	Сильна перевага
							+	8	Дуже сильна перевага
								9	Безумовна перевага

Сказано - зроблено. Ось який вид мають ці матриці. Ми одержали одну матрицю розміром 8 8 у який знаходяться результати попарних порівнянь критеріїв по їхній важливості при виборі дому і вісім матриць суджень розмірністю 3 3, оскільки є вісім критеріїв на другому рівні і три будівлі, що порівнюються попарно по кожному з критеріїв.

Матриця попарних порівнянь критеріїв (рівень 2)

Загальне задоволення домом	1	2	3	4	5	6	7	8
Розмір дому (1)	1	5	3	7	6	6	1/3	1/4
Зручність транспорту (2)	1/5	1	1/3	5	3	3	1/5	1/7
Місцевість (3)	1/3	3	1	6	3	4	6	1/5
Вік будівлі (4)	1/7	1/5	1/6	1	1/3	1/4	1/7	1/8
Двір (5)	1/6	1/3	1/3	3	1	1/2	1/5	1/6
Сучасне обладнання (6)	1/6	1/3	1/4	4	2	1	1/5	1/6
Загальний стан (7)	3	5	1/6	7	5	5	1	1/2
Фінансові умови (8)	4	7	5	8	6	6	2	1

Матриці попарних порівнянь альтернатив (рівень 3)

Розміри дому	А Б В	Зручність транспорту	А Б В
А Б В	1 6 8 1/6 1 4 1/8 1/4 1	А Б В	1 7 1/5 1/7 1 1/8 5 8 1
Місцевість	А Б В	Вік будівлі	А Б В
А Б В	1 8 6 1/8 1 1/4 1/6 4 1	А Б В	1 1 1 1 1 1 1 1 1
Двір	А Б В	Сучасне обладнання	А Б В
А Б В	1 5 4 1/5 1 1/3 1/4 3 1	А Б В	1 8 6 1/8 1 1/5 1/6 5 1
Загальний стан	А Б В	Фінансові умови	А Б В
А Б В	1 1/2 1/2 2 1 1 2 1 1	А Б В	1 1/7 1/5 7 1 3 5 1/3 1

З групи матриць парних порівнянь ми формуємо набір локальних пріоритетів, не угамовувався Фахівець, що виражають відносний вплив множини елементів на елемент рівня, що примикає зверху. Знаходимо відносну силу, величину, цінність, бажаність або імовірність кожного окремого об'єкта через “розв'язання” матриць, кожна з який має зворотносиметричні властивості. Для цього потрібно обчислити множину власних чисел - _i і векторів - _i для кожної матриці, а потім, обравши головний власний вектор, що відповідає максимальному власному числу _max, виконати його нормування, одержуючи тим самим вектор локальних пріоритетів.

Н ехай А  [aij] - квадратна матриця nn; _i - власні значення (їх іноді називають характеристичні числа); _i - власні вектори матриці А. Власні значення знаходять як корені алгебраїчного рівняння n-го ступеня (характеристичного рівняння):

a₁₁- a₁₂ …a_1n

a₂₁ a₂₁- …a_2n

det ( А -  E)  …………...………........ = 0

a_n1 a_n2 a_nn-

В ласні вектори знаходять як розв'язання рівняння: (А - _i E) _i = 0. В обчислювальній математиці розроблено велику кількість різних алгоритмів для пошуку власних значень і власних векторів квадратної матриці. Відповідні чисельні методи реалізовані в багатьох пакетах програм, наприклад MathCAD). При відсутності спеціалізованих програм, можна використовувати наближені формули для одержання доброго наближення власних векторів. Одним із найкращих - є геометричне середнє. Це можна зробити, перемножив елементи в кожному рядку і витягнувши корені n-ой ступеня, де n – число елементів. Отриманий стовпець чисел нормується шляхом ділення кожній компоненти вектора на їхню суму. Таким чином, ми можемо визначити не тільки порядок пріоритетів кожного окремого елемента, але і величину його пріоритету.

Розміри дому	Вектор локальних пріоритетів	Зручність транспорту	Вектор локальних пріоритетів
А Б В	0,754 0,181 0,065 max=3,136	А Б В	0,233 0,005 0,713 max=3,247
Місцевість	Вектор локальних пріоритетів	Коли побудований будинок	Вектор локальних пріоритетів
А Б В	0,745 0,065 0,181 max=3,130	А Б В	0,333 0,333 0,333 max=3,000
Двір	Вектор локальних пріоритетів	Сучасне обладнання	Вектор локальних пріоритетів
А Б В	0,674 0,101 0,226 max=3,086	А Б В	0,747 0,060 0,193 max=3,197
Загальний стан	Вектор локальних пріоритетів	Фінансові умови	Вектор локальних пріоритетів
А Б В	0,2 0,4 0,4 max=3,000	А Б В	0,072 0,650 0,278 max=3,065

Фахівець знову сів за комп'ютер і зосереджено заклікав мишкою. На екрані з'явилися перші результати. "Ось це головні власні числа і відповідні їм вектори локальних пріоритетів для матриць попарних порівнянь альтернатив" - вирік він, не перестаючи рухати мишу.

“Наступним етапом є застосування принципу синтезу. Для виявлення складових, або глобальних, пріоритетів домів складають матрицю спеціального виду”, продовжував Фахівець. “У її першому рядку розташований вектор локальних пріоритетів критеріїв, а в стовпцях розташовані відповідні їм вектори пріоритетів альтернатив”.

	1	2	3	4	5	6	7	8	Узагальнені або глобальні пріоритети
Кр	0,173	0,054	0,188	0,018	0,031	0,036	0,167	0,333
А	0,754	0,233	0,745	0,333	0,674	0,747	0,200	0,072	0,396
Б	0,181	0,055	0,065	0,333	0,101	0,060	0,400	0,650	0,341
В	0,065	0,713	0,181	0,333	0,226	0,193	0,400	0,278	0,263

Вектор глобальних пріоритетів обчислюється шляхом множення рядка Кр (вектор критеріїв) на рядки А, Б, і В відповідно (ваги альтернатив щодо кожного з критеріїв). Наприклад, для дому А маємо:

(0,7540,173) + (0,2330,054) + (0,7450,188) + (0,3330,018) +

(0,6740,031) + (0,7470,036) + (0,2000,167) + (0,0720,333) = 0,396.

Аналогічно обчислюються і два інших значення компонент вектора. Для дому Б маємо:

(0,1810,173) + (0,0550,054) + (0,0650,188) + (0,3330,018) +

(0,1010,031) + (0,0600,036) + (0,4000,167) + (0,6500,333) = 0,341.

Для дому В маємо:

(0,0650,173) + (0,7130,054) + (0,1810,188) + (0,3330,018) +

(0,2260,031) + (0,1930,036) + (0,4000,167) + (0,2780,333) = 0,263.

З наявних альтернатив вибираємо ту, якої відповідає максимальний компонент вектора глобальних пріоритетів, оскільки вони увібрали в себе всю інформацію про переваги альтернатив і критеріїв.

Т аким чином, був обраний дім А, що був найменш бажаним із погляду фінансових умов, однак якому сім'я віддала перевагу по декількох інших критеріях⁵⁴.

Література:

1. Thomas L. Saaty Axiomatic Foundation of the Analytic Hierarchy Process, Management Science, Vol.32, No.7, July 1986, pp.841-855.

2. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1991. – 224 с.

3. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. – м.: Финансы и статистика, 2002. – 368 с.

Додаток 9