Розділ 4. Прийняття рішень в умовах ризику

Після вивчення матеріалу цього розділу Ви зможете:

• виконати постановку задачі вибору в умовах ризику;

• порівнювати альтернативи, використовуючи традиційні правила;

• пояснити сутність Санкт-Петербурзького парадоксу.

4.1 Постановка задачі вибору в умовах ризику

Традиційно, при розгляді задач вибору в умовах ризику, під ризиком розуміють імовірність відхилення прибутку від очікуваного в наслідок обрання однієї з альтернатив. Це зв'язано із широким залученням прикладів з галузі азартних ігор і лотерей для демонстрації концепцій вибору, з одного боку, та із застосуванням теоретичних розробок для вирішення фінансових питань, по другу. Багато задач, що виникають у практиці управління, після формалізації та побудови моделі, мають наступний вигляд: потрібно вибрати яку-небудь дію A_i з множини припустимих дій. Результат вибору v_ij залежить від стану випадкового чинника - S_j .

	Стан чинника
Дія	S1	S2		Sm
A1	v11	v12	…	v12
A2	v21	v22	…	v22
…	…	…	…	…
An	vn1	vn2	…	vnm
Ймовірності	p1	p2	…	pm

Припускається, що множина станів становить повну систему несумісних подій, тобто p_i=1. Вибір необхідно зробити так, щоб очікуваний результат v_ij був у деякому сенсі оптимальним для особи, яка приймає рішення.

4.2 Традиційні правила вибору альтернатив

У тому випадку, коли є апріорний розподіл ймовірностей станів S_j, можна говорити про вибір рішень в умовах ризику. Два найбільш поширені підходи до вибору рішення засновані на принципах максимізації очікуваного значення виграшу і максимізації очікуваної корисності виграшу.

Відповідно до першого, обчислюють очікувані оцінки кожної з альтернатив і вибирають ту, у якої більше математичне очікування виграшу:

max E[A]  , (4.1)

де E[A_i] - очікуваний виграш при виборі i-ої альтернативи;

v_ij - розмір виграшу при здійсненні S_j - події;

pj - ймовірність здійснення події S_j.

Відповідно другому підходу треба обчислити очікувані корисності дій і вибрати дію з найбільшою очікуваною корисністю:

max E[U(A)]  , (4.2)

де E[U(A_i)] - очікувана корисність при виборі i-ої альтернативи;

u_ij - корисність результату при здійсненні S_j - події;

pj - ймовірність здійснення події S_j.

Крім цих двох підходів, також існує ряд інших, що дістали назву “вирішальні правила”, які будуть розглянуті в розділі “прийняття рішень в умовах невизначеності”, тому що застосовуються у випадках, коли ймовірності подій не відомі.

Розглянемо застосування першого підходу на прикладі²³. Нехай існують дві альтернативи і два можливих стани деякого чинника. Можливі виграші наведені в платіжній матриці.

	S1	S2	E[Ai]
A1	$600	$400	$500
A2	$300	$800	$550
p	1/2	1/2

Виконав розрахунки знайдемо:

E[A₁]= $600*1/2 + $400*1/2 = $500;

E[A₂]= $300*1/2 + $800*1/2 = $550.

Оскільки E[A₂] > E[A₁], то відповідно до обраного підходу варто вибрати альтернативу A₂.

Засновники сучасної теорії ймовірностей, такі як Паскаль і Ферма, припускали, що людина буде оцінювати альтернативні азартні ігри на основі їхніх очікуваних виграшів. Так, лотерея з виграшами (x₁,…, x_n) і імовірностями (p₁,…, p_n) принесе таке ж саме задоволення, як і сума грошей, що має бути отримана напевно, рівна очікуваному виграшу: . Такий підхід міг би виправдуватися посиланням на закон великих чисел, який стверджує, що якщо азартна гра нескінченна і черговий тур повторюється незалежно від попереднього, то при великому числі повторень виграш з неминучістю сходиться до її очікуваного значення.

Однак, у ситуації разового вибору, що не може бути повторений або усереднений, люди можуть обґрунтовувати рішення виходячи з критеріїв відмінних від максимізації очікуваного значення виграшу.