6.3. Теоретико-вероятностный метод расчета размерных цепей

Теоретико-вероятностный метод расчета размерных цепей основан на положении, что при изготовлении деталей отклонения их размеров в основном группируются около середины поля допуска, и при сборке наиболее вероятным сочетанием деталей является сочетание по средним размерам, а не по предельным, как это имело место в расчетах размерных цепей на максимум-минимум.

Поэтому, основываясь на некоторых положениях теории вероятностей можно расширить допуски составляющих размеров и тем самым облегчить изготовление деталей при практически незначительном несоблюдении предельных значений замыкающего звена

6.2.1. Первая задача

Как отмечалось в разделе 2.1., допуск размера принимается равным 6σ, в случае, если погрешности его изготовления подчиняются закону нормального распределения. Применительно к звеньям размерной цепи можно записать, что

или (62)

Соответственно

или

На основании зависимостей (30) и (48) можно записать уравнение для определения допуска замыкающего звена тогда, когда центр группирования совпадает с серединой поля допуска, а диапазон рассеивания - с величиной допуска:

(63)

Когда центр группирования не совпадает с серединой поля допуска, а поле рассеивания - с величиной допуска, координата центра группирования (рисунок 20) эмпирической кривой распределения относительно номинального размера будет

(64)

Рисунок 20. Смещение центра группирования эмпирической кривой распределения относительно номинального размера

где E_mA_i - координата середины поля допуска относительно номинального значения размера A_i

α₁ - коэффициент относительной асимметрии эмпирической кривой распределения отклонений i-го размера.

Из формулы (64) следует, что

(65)

При симметричном расположении поля допуска относительно номинального размера E_mA_i = 0, =0 и 1 α₁ = 0.

Допуск замыкавшего звена при любом законе распределения может быть определен из формулы (68), в которую вводят коэффициент относительного рассеивания K_i, тогда

(66)

Коэффициент K_i, характеризует степень отличия распределения погрешностей i-го параметра по сравнению с распределением по закону Гаусса, т.е.

(67)

где R - поле рассеивания, разное для распределения по нормальному закону R=6σ_i, по закону равной вероятности , а по закону Симпсона (треугольника)

При указанных значениях R коэффициент K_i, будет равен 1; 1,73; 1,22.

По аналогии с формулой (58) и с учетом зависимости (64) координата группирования случайных отклонений замыкающего размера относительно номинала, этого размера при наличии смещения центров группирований соответствующих размеров может быть найдена по формуле

(68)

6.3.2..Вторая задача

Допуски составляющих размеров цепи при заданном допуске замыкающего размера могут быть определены рассмотренными ниже способами.

Способ назначения равных допусков исходит из предположения, что величины ТА_i, E_mA_i, α₁, K_i для всех, составляющих размеров могут быть одинаковыми. Уравнение для определения Т_mA_i получают из равенства (66) по аналогии с уравнением (59):

откуда

(69)

Для случая, когда коэффициент неодинаков для всех составляющих размеров

(70)

Правильность решения задачи проверяют по уравнениям (66) и (68).

Способ назначения допусков одного класса точности имеет аналогичное решение задачи с методом полной взаимозаменяемости, но формула (60) примет вид

(71)

Указанная формула получается, если в уравнение (66) подставить значение и решить его относительно α.