19.Интуитивное и техническое понятие информации. Понятие бита и байта. Модель оперативной памяти эвм.

В бытовом смысле под информацией понимают те сведения, которые чел-к получает от окружающей природы и общества с помощью органов чувств.

Математик рассмотрит это понятие шире и включит в него те сведения , которые чел-ек не получал, а создал сам с помощью умозаключений. Биолог же пойдет еще дальше и отнесет к информации и те данные, которые чел-ек хранит в себе с момента рождения до смерти. Это ген-кий код, благодаря которому дети так похожи на родителей. Т.о.в разных науч.дисциплиных и в разных областях техники сущ-ют разные понятия информации.

Св-ва инф-ции: ее можно создавать, передавать(принимать), хранить и обрабатывать.

Каждая наука, занимающаяся вопросами, связанными с инф-ей, вводит свою сис.классификации. Для информатики главным вопросом явл-ся то, каким образом используются средства выч-ной техники для создания, хранения, обработки и передачи инф-ции. В информатике отдельно рассматривают аналоговую и цифровую инф-цию. Мы не найдем двух одинаковых зеленых листьев на одном дереве и не услышим двух абсолютно одинаковых звуков – это аналоговая инф-ция. Если же разным цветам дать номера, а разным звукам – ноты, то аналоговую инф-цию можно превратить в цифровую.

Аналоговая – непрерывна; цифровая – дискретна.

Аналогово-цифровое преобразование – преобразование инф-ции из анал-ойформы в цифровую.

Бит – очень удобная ед-ца хранения инф-ции в ПК, но не очень удобная для обработки инф-ции. Бит – наименьшая ед-ца инф-ции. Обработкой инф-ции занимается спец.микросхема – процессор. Эта микросхема устроена так, что может обрабатывать группу битов одновременно( ||-но). Один из первых ПК (Altair, 1974г.) имел восьми разрядный процессор, т.е.он мог ||-но обрабатывать 8 битов инф-ции.Это в 8 раз быстрее, чем работать с каждым битом отдельно => в выч-ой технике появилась новая ед-ца измерения инф-ции – байт –группа из 8 битов. Одним битом можно закодировать два значения: Да или Нет (1 или 0).

Биты	1	2	3	4	5	6	7	8
Кол-во кодируемых значений	2	4	8	16	32	64	128	256

Модель ОП:

Размер адресуемой памяти ОЗУ огр-на возможностями адресной шины CPU.

Например: 24-х разряд.шина имеет макс-но возможный адресс 2²⁴-1=FFFFFF, т.е.16 Мб.

RAM – физически выполненная в виде микросхем и предназначена для временного хранения программ и данных. Это посл-ть ячеек.ОП организована по принципу 1(+) и 0(-).

Схемы распределения ОП:

1)Одиночное.

Ядро ОС

Загр., коды, пользователь.

2)Статическое распределение (статически разбивается на сектора).

Ядро ОС – зарезервировано для служеб.целей (DOS-тестирование и нач.загрузка, выполнение осн-ых низко уровневых услуг в/в; расширения для ОС и драйверов).

20. Квадратичные формы: ранг, канонический и нормальный виды, сигнатура. Способы сведения к каноническому виду.

Квадратичной формой х₁,х₂,…,х_n называют функцию f=a₁₁x₁²+a₁₂x₁x₂+…+a_1nx₁x_n+a₂₁x₂x₁+a₂₂x₂²+…+a_2nx₂x_n+…+a_nnx_n², (1.1)

где коэффициенты a_ik, k,i=1…n –R или K чикла. Далее будем считать, что a_ik=aki.

Если все коэффициенты квадратичной формы R числа, то форма называется действительной. Если – K, то комплексной формой.

С квадратичной формой (1.1) можно связать квадратичную матрицу:

Ранг r матрицы называется рангом квадратичной матрицы. Если r=n, то квадратичная форма называется невырожденной. Квадратичную форму (1.1) можно записать в матричном виде:

f=х₁(a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n)+х₂(a₂₁x₂+a₂₂x₂+…+a_2nx_n)+…=( x_1, x_2,.., x_n)* =( x_1, x_2,.., x_n)*A*

Лемма. Если P и Q квадратичные матрицы порядка n. Причем, если Q – невырожденная матрица, то rank(Q*A)=rank(A*Q)=rankA.

: Известно, что rank(Q*A) rankA и что rank(Q*A) rankQ+ rankA-n. (т.к. Q невырожденная матрица, то rankQ=n) Следовательно rank(Q*A) rankA rank(Q*A)= rankA.

Преобразование матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных.

Выполнив в квадратичной форме (1.1) линейную замену переменных: (2.1)

через Q- матрицу линейного преобразования(2.1) выясним, какова матрица квадратичной матрицы f после замены. Для этого соотношение (2.1) запишем в матричном виде X=Q*Y, где , . Сделаем замену переменных X=Q*Y; f=X^t*A*X=(Q*Y)^t*A*Q*Y=Y^t*Q^t*A*Q*Y=Y^t*(Q^t*A*Q)*Y. Матрица В квадратичной формы f=Q^t*A*Q. Предположим, что (2.1) явл. невырожденной, т.е. detQ 0. Выясним, изменится ли rank квадратичной формы при невырожденном преобразовании переменных.

rankB= Q невырожденная матрица, то по лемме = rank((Q^t*A)*Q)= rank(Q^t*A)= rankA.

Т.о. после невырожденного преобразования (2.1) rank квадратичной формы не меняется.

Каноническим видом квадратичной формы называется .

Теорема Число неравных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы равно ее рангу.

Основная теорема о квадратичных формах.

квадратичная форма f=X^t*A*X может быть приведена к каноническому виду некоторым линейным невырожденным преобразованием переменных X=Q*Y. При этом, если квадратичная форма явл. R, то все элементы матрицы Q – R.(действительное линейное преобразование)

Алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

1. пусть а₁₁ в квадратичной форме (1.1) 0 полагаем ; и преобразуем квадратичную форму к виду:

2. если в квадратичной форме все а_ii=0, , то делают замену: а₁₂ 0.

x₁=z₁-z₂

x₂=z₁+z₂

x_i=z_i,

Закон инерции квадратичных форм.

Рассмотрим R квадратичные формы. Будем предполагать, что переход от одной формы к другой осуществляется лишь линейным преобразованием переменных с R коэффициентами. R квадратичную форму f ранга r одним из таких преобразований переменных можно привести к каноническому виду: . Здесь коэффициенты b₁,b₂,..b_r –R 0 числа, среди которых есть положит. и отриц. канонический вид квадр. формы f действительного ранга r можно записать: , где с₁,с₂,..с_r>0. Совершив невырожденное линейное преобразование переменных, приведем форму f к нормальному виду:

, ,…, .

Теорема (закон инерции R квадратичных форм)

Число положительных и отрицательных квадратов переменных в нормальном виде, к которому приводится квадратичная R форма c R невырожденным линейным преобразованием переменных, не зависит от выбора этого преобразования.

Обозначим через число квадратов переменных с коэффициентом (+1) в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма f; а через - с коэффициентом (-1).

Величина называется положительным индексом инерции квадратичной формы, а величина - отрицательный индекс инерции. S= - -сигнатура квадратичной формы. Очевидно, что r= + , где r – rank кв.формы.

Заметим, что если кв.форма приведена к кан.виду: , . Т.о. положит. индекс инерции равен числу положительных коэффициентов при квадратах переменных, а отриц.индекс – число отрицательное.

Теорема. Для того, чтобы 2 R кв.формы f и g от одинакового числа переменных могли быть переведены одна в другую невырожденными линейными преобразованиями переменных чтобы они имели одинаковые ранги и сигнатуры.

Кв.форма от n переменных называется положительно определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов переменных. rank=n, =n, =0.

Теорема. Для того, чтобы R кв.форма f от n переменных явл. положительно определенной при R значениях переменных, среди которых хотя бы одно значение отличное от 0, кв.форма принимает положит. значение.

Лемма. Пусть -det матрицы R кв.формы .Пусть X=Q*Y - невырожденное R преобразование переменных. Тогда det матрицы кв.формы сохраняет знак при преобразовании X=Q*Y.

: f=X^t*A*X; X=Q*Y; f=(Q*Y)^t*A*(Q*Y)=Y^t*(Q^t*A*Q)*Y; B= Q^t*A*Q

- знаки совпадают.

Теорема.(критерий Сильвестра) Для того, чтобы кв.форма f=X^t*A*X от n переменных была положительно определенной чтобы все главные миноры ее матрицы А были строго положительны, т.е. а₁₁>0; >0,…

Приведение кв.формы к кан.виду ортогональными преобразованиями переменных.

(6.1)

называется ортогональным, если матрица Q этого преобразования явл. ортогональной, т.е. Q^-1=Q^t. Рассмотрим R кв.форму от n переменных f=X^t*A*X.

Пусть V - n-мерное евклидово пространство над полем R чисел. Возьмем ортонормированный базис ( ) V и будем смотреть на матрицу А, как на матрицу линейного оператора . Т.к. матрица А симметрична и все ее эл-ты R числа, то рассматриваемый линейный оператор явл. самосопряженным. Известно, что самосопряженный оператор порождает в V ортонормир. базис (f₁,f₂,..,f_n), все векторы кот. явл. собственными векторами оператора . Матрица оператора в базисе (f₁,f₂,..,f_n), явл. диагональной: , где - собственные значения оператора . Матрица А связана с соотношением В=Q^-1*A*Q, где Q-матрица перехода от базиса ( ) к базису (f₁,f₂,..,f_n).

Известно, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому пр-ва V явл. ортогональной. Q- ортогональная матрица.

B= Q^t*A*Q (6.2)

Известно, что при замене переменных (6.1) матрица А рассматриваемой кв.формы f преобразуется в матрицу В по закону (6.2). Т.о., если в (6.1) в качестве Q взять ортогональную матрицу перехода, то В кв.формы f после замены переменных (6.1) будет диагональной, а форма примет кан. вид:

Алгоритм приведения кв.формы к кан.виду операторным преобразовнием переменных.

1. записать матрицу А в кв.форме

2. определить из ур-я собственные значения матрицы А

3. собственного значения определить соответствующие ему линейно независимые собственные векторы(n-мерные матрицы столбцы); координаты этих векторов удовлетворяют следующей однородной системе ур-ий: . Искомая совокупность линейно независимых собственных векторов образует ФСР этой системы ур-ий.

4. Полученным собственным векторам, отвечающим собственному значению применить процесс ортогонализации

5. после того, как будут найдены все n собственных векторов n, образующим базис (f₁,f₂,..,f_n) в n-мерном Rевклидовом пр-ве матрицу столбцов нужно координаты векторов поместить в соответствующие столбцы искомой матрицы Q.

6. Написать кан. вид кв.формы: ; записать вид линейного преобразования переменных

Лемма. Нормальный вид положительно-определенной кв.формы сохраняется при ортогональном преобразовании переменных

Теорема. 2 R кв.формы f и g от n переменных x₁,x₂,…,x_n можно привести к кан.виду при помощи одного R линейного преобразования переменных, если одна из форм явл. положительно определенной.