62. Решение нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона.
Этот метод весьма эффективен для решения алгебраических уравнений. Его основное преимущество состоит в том, что при сравнительно простой схеме вычислений он обладает быстрой сходимостью.
Пусть единственный
корень
уравнения
(1)
расположен внутри
интервала
,
причем
и
непрерывны и сохраняют определенные
знаки
.
.
Пусть начальное
приближение
известно. Заменим
отрезком из ряда Тейлора
и за следующее
приближение
возьмем корень уравнения
,
т. е.
.
Вообще, если
итерация
известна, то следующее приближение
в методе Ньютона определяется по правилу
,
(2)
Начальное приближение
и должно удовлетворять условию
(3)
Метод Ньютона
называют также методом касательных,
так как новое приближение
является абсциссой точки пересечения
касательной, проведенной в точке
к графику функции
,
с осью
.
Этот метод имеет
квадратичную сходимость, т. е. в отличие
от линейных задач погрешность на
следующей итерации пропорциональна
квадрату погрешности на предыдущей
итерации:
.
Для оценки точности
приближения
можно воспользоваться формулой
,
где
,
Метод Ньютона обладает очень быстрой сходимостью. Такая быстрая сходимость гарантируется лишь при очень хороших, т. е. близких к точному решению начальных приближениях. Если начальное приближение выбрано неудачно, то метод может сходиться медленно, либо не сойдется вообще.
63.Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простой итерации.
Итерационные методы позволяют исследовать СЛАУ более высоких порядков, чем точные. Итерационные методы являются самоисправляющимися, т. е. ошибка, допущенная на одной из итераций, на последующих итерациях будет исправлена.
Этот простейший
итерационный метод решения системы
линейных алгебраических уравнений
заключается в том, что система уравнений
преобразуется к виду удобному для
итерации
(1)
и ее решение находится как предел последовательности
, 
(2)
(если существует
и он конечен, то
является приближенным решением исходной
системы).
Начальное приближение
можно выбирать произвольно. Обычно в
качестве начального приближения
берут столбец свободных членов
либо
нулевой столбец. Конечное решение СЛАУ
не зависит от выбора начального
приближения. От выбора начального
приближения зависит время решения
задачи в целом.
Для приведения исходной системы к виду (1) практически поступают следующим образом. Из заданной системы выделяют уравнения с коэффициентами, модули которых больше суммы модулей остальных коэффициентов уравнения. Каждое выделенное уравнение выписывают в такую строку новой системы, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался диагональным.
Из оставшихся неиспользованных и выделенных уравнений системы составляют линейно независимые между собой линейные комбинации с таким расчетом, чтобы был соблюден указанный выше принцип комплектования новой системы, и все свободные строки оказались заполненными. При этом нужно позаботиться, чтобы каждое неиспользованное ранее уравнение попало хотя бы в одну линейную комбинацию, являющуюся уравнением новой системы.
Если коэффициенты
и свободные члены данной системы являются
приближенными числами, написанными с
знаками, то для получения решения с
числом десятичных знаков (
)
следует в значениях последовательных
приближений удерживать
десятичных знаков и последовательные
приближения вычислять до их совпадения,
после чего нужно округлить результат
на один знак.
Апостериорная
оценка погрешности
Оценку сходимости метода простой итерации можно провести по нормам матрицы.
Напомним определение
основных норм в пространстве векторов
и матриц. Если в пространстве векторов
введена норма
,
то согласованной с ней нормой в
пространстве матриц
называют
норму
Наиболее употребительны в пространстве векторов следующие нормы
,
,
а согласованными с ними нормами в пространстве матриц являются нормы
;
;
,
здесь
- собственное значение матрицы
,
- матрица, сопряженная к матрице
.
Итерационный
процесс (2) сходится к решению системы
со скоростью геометрической прогрессии,
если норма
,
т. е. если выполняется хотя бы одно из
условий
;
;
.
64.