72.Формула Тейлора функции одной действительной переменной и ее остаточный член в разных формах. Ряд тейлора. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.

Предположим, что функция имеет все производные до -го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку .Найдем многочлен степени не выше , значение которого в точке равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до -го порядка в точке равняются значениям соответствующих производных от функции в этой точке:

.

Будем искать этот многочлен в форме многочлена по степеням с неопределенными коэффициентами:

. (*)

Далее находим производные от . Подставляя в левые и правые части этих производных вместо значение и заменяя через , через и т.д., получим

.

Откуда находим неизвестные коэффициенты ,и подставляя их в формулу (*), получим искомый многочлен

.

Обозначим через разность значений данной функции и построенного многочлена : , откуда , или в развернутом виде

.

Таким образом мы получили формулу Тейлора функции одной действительной переменной. называется остаточным членом.

Формы остаточного члена.

1.Форма Лагранжа: , (точка заключена между и , ).

2.Форма Коши: , .

3.Форма Пеано: .

Ряд Тейлора

Пусть функция имеет производные любого порядка в окрестности точки . Для такой функции можно составить ряд:

.

Независимо от того, сх-ся или расходится этот ряд, он называется рядом Тейлора функции по степеням . Если , то соотч\ветствующий ряд называют рядом Маклорена.

Теорема1. Если функция имеет на отрезке производные любого порядка и остаточный член стремится к 0 при

на этом отрезке, то разлагается в сходящийся к ней ряд Тейлора на этом отрезке.

Теорема2. Если функция имеет на отрезке производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом , то остат-ный член на этом отрезке стремится при к 0.

Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.

1.

Эта функция бесконечно дифферкнцируема на . При этом

.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

, ,

где может быть положительным и отрицательным. На отрезке ,

.

Это показывает, что функция разлагается на в сходящитйся к ней ряд Тейлора по степеням (ряд Маклорена):

.

Но произвольное число, поэтому это равенство имеет место на всей действительной оси.

2.

Данная функция имеет производную любого порядка и

.

Поэтому по теореме2 функция разлагается в сходящийся к ней на ряд Тейлора по степеням :

.

3.

Совершенно аналогично можно получить, что

.

4.

Эта функция определена и сколько угодно раз дифференцируема для . Поэтому для нее формулу Тейлора можно написать для любого при . Так как

,

то формула Тейлора имеет вид

.

Используя формулы лагранжа и Коши остаточного члена можно показать, что . Поэтому функция разлагается в указанном промежутке в ряд Тейлора по степеням :

.

5.

Для этой функции

,

.

Формула Тейлора по степеням имеет вид

.

Можно доказать, что при любом : . Поэтому для любого действительного имеет место разложение функции в ряд Тейлора по степеням :

.