6.Группы, кольца, поля (определения и примеры)

Группа – непустое множество G, на котором задана бинарная операция *, которая удовлетворяет следующим условиям:

1.ассоциативность:  a, b, c G (a*b)*c=a*(b*c);

2.существование единственного нейтрального элемента e: aG a*e=e*a=a;

3.существование единственного симметричного элемента а': aG  ! a’G: a*a’=a’*a=e;

Если заданная операция – умножение (сложение), группа называется мультипликативной (аддитивной). Группа называется коммутативной (абелевой), если операция коммутативна, т.е.  a, b G a*b=b*а.

Примеры групп: (Z,+) – множество целых чисел относительно операции сложения, (2Z,+), (Z,*), (Q,+), (Q\{0},*), множество всех векторов плоскости относительно операции сложения.

Кольцо – множество К, на котором заданы операции сложения и умножения и выполняются следующие аксиомы:

1. a, b, c К (a+b)+c=a+(b+c);

2.aК  ! еК (е=0): a+0=0+a=а;

3.aК  ! (- а)К: a+(-a)=(-а)+a=0;

4. a, b К a+b=a+b;

5. a, b, c К (ab)c=a(bc);

6. a, b, c К (a+b)c=aс+bc), a(b+c)=ab+ac;

Кольцо является абелевой группой относительно операции сложения.

Примеры колец: Z, Q, R, С, .

Кольцо называется коммутативным, если  a, b К ab=bа.

Кольцо называется кольцом с единицей, если  еК: aК еa=aе=а;

Кольцо без ненулевых делителей нуля называется областью целостности (a и b  К – делители нуля, если а0, b0, но ab=0).

Поле – коммутативная область целостности с единицей, в которой каждый ненулевой элемент обратим.

Примеры колец: Q, R., С.

7. Дискретні випадкові події. Числові характеристики випадкових подій та їх властивості.

8. Диференціальні рівняння, що припускають зниження порядку.

9. Диференціальні рівняння, які не мають розв’язків відносно похідної. Рівняння Лагранжа і Клеро..

10. Диф-ть ф-и одной пер-й.

Пусть дана ф-я , опред. на . Выберем любую т. и дадим нек. приращ. (настолько малое, что ) Приращ. ф-и в т. :

Опр. Производной ф-ей от наз. предел отношения приращения ф-и к приращ. ее аргумента, когда последн.

Опр. наз. дифференцируемой в т. , если

A=const, не зависящ. от , - бмф при

Th.

Утв: , т. е. если слева = справа

Опр. Лин. часть приращ. ф-и наз. диф-лом ф-и

Th. , , , то :

Th.

Th. : , монот, , , тогда , , монот.,

.

Опр. наз. возраст. в т. если сущ. нек окр-ть этой т. в кот.

.

Опр. наз. убыв. в т. если сущ. нек окр-ть этой т. в кот.

.

Замечание: 1 Если ф-я возраст. (убыв.), то она возраст (убыв.) в т. .

2. Если ф-я возраст. (убыв.) в т. , то она не обяз. возраст (убыв).

Th1. возр. (убыв.) в т.

Необх. усл-я экстремума.

Опр. Ф-я имеет в т. loc max (min), если в нек проколотой окр-ти этой т. вып-ся ( )

Опр. Ф-я имеет loc экстремум в т. , если в этой т. она имеет или loc min или loc max.

Th (Ферма): , - loc extr. .

Th Ролля: , :

Th Лагранжа: : .

Сл-я:

Th1(дост. усл-я постоянства ф-и)

,

Th2(усл-я монотонности)

неубыв. на

невозр. на

Th3(дост. усл-я строгой монотонности)

возр. на

убыв. на

Th Коши

:

Th Дарбу и для нек-х .

Тогда :

11. Дифференцируемось функций многих действительных переменных. Экстремумы функций многих действительных переменных.

Опр.1 Функции, которые определены на множествах n-мерного арифметического евклидового пространства Rⁿ и значениями которых являются действительные числа, называются функциями многих переменных f(x)=f(x₁, …, x_n), x Rⁿ.

Опр.2 Если функция f(x) определена в точке x Rⁿ и в некоторой ее окрестности, то называется частной производной функции f по k-й переменной.

Опр.3 Функция f(x), x Rⁿ называется дифференцируемой в точке x Rⁿ, если ее полное приращение можно представить в виде

,

где A_i=const, α_i(Δx₁,…, Δx_n) – бесконечно малые функции при Δx_i→0.

Теорема 1 Если функция f(x) дифференцируема в точке x Rⁿ, то она непрерывна в этой точке.

Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости функции в точке) Если функция f(x) дифференцируема в точке x Rⁿ, то в этой точке существуют частные производные , i = 1, …, n.

Следствие Если функция f(x) дифференцируема в точке x Rⁿ, то представление ее полного приращения единственно:

Опр.4 Дифференциалом функции f(x), x Rⁿ, называется линейная функция вида

.

Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости функции в точке) Если функция f(x) в некоторой окрестности точки x Rⁿ имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке.

Опр.5 Точка x₀ Rⁿ называется точкой локального минимума (соответственно локального максимума) функции f(x), если существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, что для всех x U(x₀), x≠x₀, выполняется неравенство f(x)>f(x₀) (соответственно f(x)<f(x₀)).

Опр.6 Точки локального максимума и минимума функции называются точками локального экстремума.

Теорема 4 (необходимое условие локального экстремума) Если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке x₀ Rⁿ , то в этой точке частные производные (x₀)=0, i=1, …, n.

Теорема 5 (достаточное условие локального экстремума) Пусть точка x₀ Rⁿ является стационарной точкой функции f(x), т.е. (x₀)=0, i = 1, …, n; квадратичная форма , т.е. второй дифференциал функции f(x) в точке x₀ Rⁿ. Тогда, если квадратичная форма положительно определена, т.е. Δ>0, то x₀ – точка локального минимума, если отрицательно определена, т.е. Δ<0, то x₀ – точка локального максимума.