49.Повторение испытании. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра и Лапласа.

Если проводится n испытаний, и вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания наз. независимыми относительно соб. А.

Повторные независимые испытания наз. испытаниями Бернулли, если при каждом испытании имеются только два возможных исходов и вероятности этих исходов остаются неизменными для всех испытаний. Одному испытанию Бернулли соответствует множество элементарных исходов состоящее из 2-х элемен. событий.

- неудача (0), - успех (1)

множество элементарных исходов для n испытаний состоит из 2ⁿ элемент. исходов , которые представляют собой последовательности состоящие из 0 и 1, соответствующие результату испытаний на каждом этапе.

Формула Бернулли. Вероятность того, что при n испытаниях событие А произойдет ровно m раз. И  не произойдет n-m раз выражает формула Бернулли.

.

Если число испытаний велико, а вероятность успеха мала, то вероятность m успехов в n испытаниях рассчитывается по формуле Пуассона.

Th. Пуассона. Если при и , так что , то вероятность m успехов в n испытаниях Бернулли вычисляется по формуле Пуассона:

.

Условие применения формулы Пуассона:

При больших n пользуются локальной теоремой Муавра-Лапласа, которая дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события m раз из n испытаний, если число испытаний достаточно велико.

Th. Если вероятность Р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность P_n(m) того, что событие А появится в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции:

при

Для вычисления функции имеются таблицы.

Пусть проводится n испытании, в каждом из которых вероятность события А появиться в n испытаниях не менее m₁ и не более m₂ раз, существует интегральная теорема Муавра- Лапласа: если вероятность Р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от m₁ до m₂ раз, приближенно равна определенному интегралу:

, где ,

если npq<20, то

.

50. Поле комплексных чисел. Различные формы записи комплексных чисел. Формула Муавра.

Понятие комплексного числа.

Опр: Комплексным числом – наз. упорядоченная пара действительных чисел z = (a,b).Число а – действительная часть Re(z). Число b – мнимая часть Im(z).

Суммой 2-х комплексных чисел z₁(a₁,b₁) и z₂(a₂,b₂) есть комплексное число z =z₁+z₂= (a₁+a₂,b₁+b₂).

Разностью 2-х комплексных чисел z₁(a₁,b₁) и z₂(a₂,b₂) есть комплексное число z =z₁–z₂=

(a₁– a₂,b₁– b₂).

Произведением комплексного числа z₁ и числа α есть комплексное число z = α*z₁ = (α*a, α*b).

Произведением 2-х комплексных чисел z₁(a₁,b₁) и z₂(a₂,b₂) есть комплексное число z =z₁*z₂= (a₁*a₂ – b₁*b₂, a₁*b₂ +b₁*a₂).

Свойства операций.

1. Дистрибутивность: (z₁  z₂)*z₃=z₁*z₃  z₂*z₃.

2. Коммутативность произведения: z₁*z₂ = z₂*z₁.

3. Ассоциативность (z₁*z₂)*z₃=z₁*(z₃*z₂).

4. (1,0)* z = z.

5. (0,0) + z = z.

6. (0,0)* z = 0.

Рассмотрим комплексное число (a,0) каждому такому числу соответствует одно действительное число a. И выполняется:

1. (a,0)+(b,0)=(a+b,0);

2. (a,0)*(b,0)=(a*b,0).

Число вида (0,1) наз. мнимой единицей ( і ).

Всякое комплексное число z = (a,b) можно представить как z = (a,0)+(0,b)=a+b*(0,1)=

=a+ib  алгебраическая форма записи комплексного числа.

z =a–ib  число сопряженное комплексному числу z =(a,b)=a+ib.

Комплексное число z =a+ib. удобно изображать точкой плоскости в декартовой системе координат.

У гол на который необходимо повернуть вокруг центра координат вектор длиной ( ), расположенном в исходном положении, вдоль оси X и имеющий начало в центре координат, чтобы конец вектора оказался в точке (a,b) – наз. аргументом комплексного числа Arg (z).

Arg (z) = φ, φ2π, φ4π,…

φ = arctg(b/a); zI II или φ = arctg(b/a)π; zI IV.

Arg (z) определяется не однозначно, а именно с точностью до слагаемого кратного 2π.

Среди ∞ мн.-ва значений Arg (z) есть одно (которое обозначаем аrg (z)) главное значение –πаrg (z)π.

Arg (z) и аrg (z) связаны соотношением:

Arg (z)= аrg (z)+2πk, k.

Пусть φ одно из возможных значений аргумента комплексного числа. Тогда:

Re(z) =a=|z|cosφ;

Im(z)=b=|z|sinφ.

z=|z|(cosφ+isinφ)  тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Алгебраические действия над комплексными числами.

(i)²= –1;

z₁=a+ib;z₂=c+id.

1. z₁+z₂=(a+c)+i(b+c);

2. z₁–z₂=(a-c)+i(b-d);

3. z₁*z₂=(a+ib)(c+id)=ac+ibd+iad+i²db=(ac–db)+i(ad+bc);

4. z₁/z₂=((a+ib)/(c+id))*(c–id)= ((a+ib)*(c–id))/(c²–(id)²) = ((ac+db)+i(ad–bc))/(c²+d²) =

(ca+bd)/(c²+d²)+i(ad-bc)/ (c²+d²).

Произведение числа в тригонометрическом виде:

|z₁|=r; |z₂|=t;

z₁=|z₁|(cosφ+isinφ);

z₂=|z₂|(cosψ+isinψ).

1. z₁*z₂= |z₁||z₂|(cosψ+isinψ)(cosφ+isinφ)=rt(cosφcosψ+icosφsinψ+isinφcosψ-sinφsinψ) = rt(cos(φ+ψ)+isin(φ+ψ)).

2. z₁/z₂=|z₁|/|z₂|(cosψ+isinψ)/(cosφ+isinφ)=r/t(cosψ+isinψ)(cosφ–isinφ)/((cosφ+isinφ)(cosφ–isinφ))= rt(cos(φ–ψ)+isin(φ–ψ)).

Степень:

zⁿ=rⁿ(cosnφ+isinnφ)  формула Муавра.

Извлечение корня:

z=r(cosφ+isinφ).

Под корнем n-й степени из числа z будем понимать любое комплексное число ρ(cosδ+isinδ) которое в n-й степени даст число z.

Преобразуем последнее неравенство с помощью формулы Муавра.

ρⁿ(cosnδ+isinnδ)= r(cosφ+isinφ).

ρⁿ=r; nδ=φ+2πk, k.

ρ= ; δ=(φ+2πk)/n.

= (cos((φ+2πk)/n)+isin((φ+2πk)/n)).