Стационарный случай
Мембраны
- (ур-е Лапласа) ур-е эллиптического вида.
При использовании операторов Лапласа
ур-е примет вид:
или
Пластины – так же ур-е Лапласа
Гельмгольца
47.
48. Поверхности 2-го порядка.
Общее уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:
К числу поверхностей 2-го порядка относятся: эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, конус, цилиндры.
П
риведем
канонические ур-я этих поверхностей:
эллипсоид:
Если т. М(x,y,z) эллипсоиду, то ему также будут точки: (-x,-y,-z), (-x,y,z,),(x,-y,z),(x,y,-z),(-x,-y,z)…,а это значит, что т. О(0;0;0) явл. центом симметрии. Пл-ти ХОУ,ХОZ,YOZ явл. пл-ми симметрии и координатные оси явл. осями симметрии. Эллипсоид- поверхность огранниченная.
о
днополостный
гиперболоид:
.
т.О(0;0;0)- т. симметрии; координатные
пл-ти х=0,у=0,z=0
– пл-ти симметрии, оси x,y,z
– оси симметрии. Сечение гиперболоида
х=0 пл-тью есть гипербола:
;
у=0:
.
Если рассечь гиперболоид z=h,
то получим:
. Из сказанного выше получаем, что
однополостный гиперболоид – неограниченная
поверхность и имеет вид:
двуполостный
гиперболоид:
.
т. О(0;0;0)- центр симметрии; координатные
пл-ти явл. пл-ми симметрии; координатные
оси- осями симметрии. Если рассекать
эту поверхность пл-ми z=h
,
,
то при
гиперболоид не будет иметь точек с
секущими пл-ми. При
двуполостный гиперболоид будет иметь
2 общие точки (0;0;с) и (0;0;-с). Если
,
то в сечении получим эллипс:
. Если мы рассечем поверхность пл-тью
х=0, то получим гиперболу:
; если у=0, то
гиперболу:
.
Из сказанного выше двуполостный
гиперболоид неограниченная поверхность
и имеет вид:
э
ллиптический
параболоид:
х,у:
z
0.
Значит, что данная поверхность лежит в
полупространстве z
0.
Счение данной поверхности пл.-ми z=h>0
представляет собой эллипс:
.
А сечение поверхности координатными
плоскостями х=0 и у=0 будут явл. параболами.
Эти пл-ти явл. пл-ми симметрии,
а z- осью симметрии. Данная поверхность неограниченная и имеет вид:
гиперболический
параболоид:
.
Сечение поверхности пл-тью у=0 или х=0
явл. параболой;
а
сечение параболоида пл-ми z=h
,
,
представляет собой гиперболы:
. Ось z- ось симметрии,
а пл-ти х=0, у=0 – пл-ти симметрии. Поверхность
неограниченная.
к
онус:
.
т. О(0;0;0)- центр симметрии, оси и пл-ти –
оси и пл-ти симметрии. Сечение конуса
пл-ми х=0 (у=0) представляет собой пару
пересекающихся прямых, а сечение конуса
пл-тью z=h
представляет собой эллипс:
.
Имеет следующий вид:
цилиндры: а)
эллиптический цилиндр
б) гиперболический
цилиндр
в) параболический цилиндр у2=2рх