14. Загальні поняття про системи числення

15.

16.

17. Интегрирование фкп. Интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции. Интегральная формула Коши и следствия из нее.

Путь(кривая) на плоскости – непрерывный образ вещественного отрезка: z = z(t)

Если функция является взаимнооднозначной, то кривая наз. Жордановой - - кривая без самопересечений.

Условия гладкости: -кривая.

Гладкая Жорданова кривая наз. контуром.

Интеграл Римана.

Пусть есть непрерывная в обл.D и - спрямляемый контур.

Р азобъем дугу на n частей:

Тогда - интегральная сумма, ,

Вычисляется:

1)

2)

Свойства :

1.Линейность

2.Аддитивность

3.Ориентируемость

4.Оценка

где: f(z) – непрерівна на (компакте), значит достигает на нем наибольшего по модулю значения.

ds – дифференциал дуги

Интеграл по замкнутому контуру:

Лемма1

- аналитична в треугольнике

тогда

Лемма2

- аналитична в n-угольнике

т огда

Лемма 3 P D

- непрерывна в области D; - спрямляемый контур.

Тогда - вписанная в контур ломанная, такая что

Теорема (интегральная теорема Коши).

- аналитична в . Тогда

Предложение1:

Пусть f(z) – аналитична в . Тогда

Предложение 2:

Предложение 3:

Пусть f(z) – аналитична в .

|f(z)| . Тогда

Теорема (интегральная формула Коши): Пусть f(z) – аналитична в .Тогда : .

Следствия:

1. Теорема Лиувилля:

Пусть f(z) – аналитична в С и |f(z)| (ф-я ограничена всюду)

Тогда f(z) – константа.

2. Основная теорема высшей алгебры:

Пусть многочлен

Тогда

3. Теорема о среднем:

Пусть f(z) – аналитична в .

Тогда

18.Интерполирование функций. Интерпол. Полином лагранжа

Задача определ. произвольной функции либо интеграла от ф.-ии y=f(x) по заданным дискретным значениям y_і=f(x_і ) использует понятие апроксимации ф.-ии. Аппроксимация также использ.-ся при построении сеточных уравнений.

Суть задачи аппроксимации зал. в след. Пусть дана некот. неизвестная в аналитическом смысле ф.-ия y=f(x), и известно лишь ее поведение на отрезке [a, b]. Такую ф.-ию наз. аппроксимируемой. Требуется построить другую ф.-ию y=F(x), наз. аппроксимирующей ф.-ией, которая была бы близка к ф.-ии y=f(x) некот. погрешностью. Т.е. задача аппроксимации сост. в том, чтобы по зад. значениям ф.-ии y=f(x) в нескольких точках отрезка [a, b], получить ее значения в остальных точках этого отрезка. При этом необх. выполнение след.:

1. задание дискретных значений ф.-ий y_і=f(x_і )

2. класс аппроксир.-щих ф.-ий, из кот. конструируется ф.-ия y=F(x)

3. вид критерия согласия между ф.-ями y=f(x) и y=F(x)

4. оценка погрешности аппроксимации

Вид задания ф.-ии y= F (x) зависит от класса решаемых задач. При исследовании напряженно-деформированного состояния по методу конечных элементов в задачах механики деформир.-го тела аппроксим.-щие ф.-ии предст.-ся комбинацией ф.-ий 1,х,…,х^п, либо сплайнами.

Критерий согласия либо близости аппрокс.-мой и аппрокс.-щей ф.-ий опр.-ся из условия минимума расстояний между ними. Например, самым распространенным критерием явл. критерий Чебышева:

Другой критерий (метод наименьших квадратов)может быть записан в виде:

В опросы оценки погрешности зависят от трех первых требований и рассм.-ся отдельно для каждого случая аппроксимации. Геометр. процесс интерполяции:

Если f(x) и F(x) совпадают в узлах аппроксимации, то этот вид аппрок.-ии наз. интерполируемым. Если же х[a, b], то имеет место интерполяция, х [a, b], то имеет место экстраполяция.

При  = 0 в узлах интерполяции значение интерп.-мой и интерп.-щей ф.-ии совпадают, т.е. f(x_і )= F (x_і), (1)

a₀ + a₁ x_i ¹+a₂ x_i²+…+a_nx_i ⁿ= f(x_i). (2)

В этом случае F(x) – интерполирующий полином порядка n ,

коэф.-ты а_к – неизвестны . Они нах.-ся из равенства (1), что эквив.-но (2).

a₀ + a₁ x_i ¹+a₂ x_i²+…+a_nx_iⁿ = f(x_i) (і=0, 1, 2,…,n)

Получим матрицу: - определитель Вандермонда

W0, если нет несовпадаемых условий, то из системы (2) всегда можем найти а_к, т.е. построить интерпол. полином.

Интерполяц. полином Лагранжа. Задача: найти F(x), надо знать а_і.Эта задача трудна, но можно ее обойти. L_n (x)- полином Лагранжа, n – порядок (n=1,2,..). При n=1 – полином 1-го порядка,…., n-го порядка: . (1)

Интерпол. полином представляется через значения самой ф.-ии в узлах интерполирования. С_к(х) – коэф.-ты разложения. Удовлетворяя услов. Чебышева:

(2) С_к(х) обладают свойством: (3)

С_к(х) =  _к(х-х₀)(х-х₁)…(х-х_к-1)(х-х_к+1)…(х-х_п) (4).

Учитывая (4),  _к=1  (х_к – х₀)(х_к – х₁)…(х_к – х_п). Подставив  _к в (3), (3) в (2) – получим интерпол. полином Лагранжа:

.

Чаще всего применяется линейная интерполяция при n=1