73.Функциональные последовательности и ряды. Их сходимость и равномерная сходимость. Условия почленного дифференцирования и интегрирования. Степенные ряды.

- функц-я последовательность (ФП), - функц-й ряд (ФР).

Опр. . - ФП.

1.Область определения ФП – множество Х, при котором Для любого : имеет смысл.

2.Область сходимостиФП – множество тех Х, при которых числовая последовательность - сходится.

3. называется предельной функцией, если для любого , т.е. .

4. называется равномерносходящейся к на множестве Х, равном-но сх-ся а , если .

5.Критерий равномерной сх-ти. равном-но сх-ся а .

6.Криткрий Коши (равномерной сх-ти). ФП равномерно на множестве Х стремится к некоторой предельной функции .

Опр. Ряд составленный из функций одной и той же переменной : , называется функциональным.

Опр. ФР называется равномерносходящимся на Х, если на этом множестве равномерно сходится последовательность его частичных сумм.

Критерий Коши равн-ой сх-ти ФР: - равн-но сх-ся .

Признаки равномерной сх-ти ФР:

1.Признак Веерштраса. ФР равномерно сх-ся в области Х, если существует такой сх-ся числовой ряд , что для всех значений , лежащих в этой области, имеет место неравенство .

2.Признак Дирихле. Пусть на Х частичный равномерно ограничен, а последовательность монотонна (т.е. ) при каждом и равномерно сх-ся к 0 на Х, тогда -равномерно сх-ся на Х.

3.Признак Абеля. Пусть -равномерно сх-ся, а монотонна при каждом и равномерно ограничена, тогда -равномерно сх-ся на Х.

Свойства функциональных рядов.

1.Почленное интегрирование

Теорема (для рядов): Пусть для любого , и пусть -равномерно сх-ся на к , тогда .

Теорема (для последовательности): Пусть для любого , и пусть -равномерно сх-ся на к , тогда .

2.Почленное дифференцирование

Теорема (для рядов): Пусть для любого существует производная , пусть равномерно сх-ся на Х к ,и пусть существует , тогда , .

Теорема (для последовательностей): Пусть для любого существует производная , пусть равномерно сх-ся на Х к ,и пусть существует , тогда , .

Степенные ряды

Опр. ФР вида , называется степенным рядом.

Особенности:

Любой степенной ряд сх-ся при .

Опр. радиусом сх-ти степ-го ряда, называется число т.ч. степ-й ряд абсолютно сх-ся при и расходится при .

Формулы для нахождения радиуса сх-ти:

формула Коши-Адамара .

формула по признаку Даламбера . (P.S.Признак Даламбера. Если , то при - ряд сходится, при - ряд расходится, - нельзя сказать).

Свойства степенных рядов:

1. равномерно сх-ся на к .

2.Теорема Абеля. Если ряд - сх-ся, то . - непрерывна в точке слева. (P.S. функция назю непрерывной, если при небольших изменениях аргумента х функция у изменяется также весьма мало, и график такой функции является сплошной непрерывной кривой).

3. степ-й ряд можно почленно интегрировать на . При этом радиус сх-ти не меняется.

4. степ-й ряд можно почленно дифференцировать. При этом радиус сх-ти не меняется.

74. Численное интегрирование. Формула трапеций.

Часто требуется вычислить определенные интегралы

(1)

Если функция непрерывна на отрезке и известна ее первообразная, то используют формулу Ньютона-Лейбница. Если условия не выполняются или функция задана таблично, то используют методы численного интегрирования. Задачи численного интегрирования основаны на замене интеграла (1) конечной суммой

, (2)

где - числовые коэффициенты и - точки отрезка , . Приближенное равенство

называется квадратурной формулой, а сумма вида (2) – квадратурной суммой. Точки называются узлами квадратурной формулы, а числа - коэффициентами квадратурной формулы. Разность

называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов.