3. Булева алгебра и вопросы, связанные с ее применением

Булева алгебра – непустое множество, для которого определены три операции: две бинарные операции, представленные знаками , и одна унарная операция, представленная чертой, ставящейся перед элементом множества(дополнение).

Элементы непустого множества(обозн. чер. U) принято обозначать буквами , ,… В результате бинарных операций из произвольных элементов  и  из U получаются более сложные элементы:  и , кот. соотв.-но наз. объединением и пересечением  и . По определению для каждого элемента  из мн. U однозначно представлен элемент -, кот. наз. дополнением к . Для непустого множества U характерно следующее:

1. вместе с элементами  и  в нем содержатся их теоретико-множественное пересечение () и их теоретико-множественное объединение ();

2. если элемент  содержится в множестве U, то в U содержится и теоретико-множественное дополнение к , т. е. множество всех подэлементов из U, кот. не принадлежат . При этом каждый элемент имеет только одно дополнение.

Система аксиом, предложенная Сикорским :

1. законы коммутативности :    =   ,    =   

2. законы ассоциативности: (С) = ()С , (С) = ()С

3. законы поглощения: () = , () = 

4. законы дистрибутивности: (С) = ()(С), (С) = ()(С)

5. (-) = , (-) = . Из этих аксиом следует, что -  и  -, где  - знак включения.

Элемент - наз. нулевым элементом, или нулем бул. алгебры и обознач. .

Элемент - наз. единичным элементом, или единицей бул. алгебры и обозн. .

При этом считается, что когда бул. алгебра явл. полем подмножеств простр.-ва Х, нулевым элементом U явл. пустое множество, а единичным элементом – все пространство Х.

В бул алгебре действительны законы идемпотентности, согласно кот.

 = ,  = .

Бул. алгебра наз. вырожденной алгеброй, если в ней имеется только один элемент. Необходимым и достаточным условием вырожденности бул. алгебры счит.-ся рав.-во =, т.е. совпадение нуля и единицы.

Принятая в бул. алгебре система аксиом основана на принципе двойственности. Запас выводимых в ней формул остается без изменений, если всюду соот.-но заменить  на , а  на .

В булевой логике действительны законы де Моргана, согласно кот.

-(  ) = -  -, -(  ) = -  - . Из этих законов следует, что    тогда и т. т., когда -  -, а также то, что  = - (- -),  = - (- -).

Когда для непустого подмн.-ва счит.-ся выполненными след. два условия:

1. из того, что , , следует, что  ,

2. из того, что  и   , следует, что ,то такое непустое мн.-во наз. идеалом и обознач. гр. бук. ( дельта).

В том случае, когда для непустого подмн.-ва оказ.-ся выполненными след. условия:

1. из ,  , следует, что   ,

2. из   и   , следует, что , то такое непуст. подмн.-во наз фильтром и обозн. переверн. гр. бук. . Понятие фильтра двойственно к понятию идеала.

Если непустое подмн.-во U₀ бул. алгебры U замкнуто относительно операций , ,-, т.е. удовлетворяет след. усл.:

1. если ,   U₀ , то    U₀

2. если ,   U₀, то    U₀

3. если   U₀, то -   U₀, то оно U₀ наз. подалгеброй алгебры U.

Отображение (обозн. его ) алгебры U в алгебру U наз. гомоморфизмом, если оно сохраняет операции объединения, пересеч.-я, взятия дополнения, т.е.

( )=  ()  (), ( )=  ()  (), (- )= - ().

Взаимно однозначный гомоморфизм наз. изоморфизмом.

Бул. алгебра U наз. атомной, если для каждого эл.-та  (U) существует атом а . Безатомной бул. алгебра наз. тогда, когда она не содержит ни одного атома. Атомом бул. алгебры наз. эл.-т а, если для любого U включение а  означает, что или =, или = а. Понятие атома явл. бул. аналогией одноточечного мн.-ва. Изоморфизм  бул. алгебры U на себя наз. автоморфизмом.

Самым важным применением теории бул. алгебр считается ее применение к мат. логике. Булев метод позволяет проще и легче доказывать многие фундаментальные теоремы исчисления предикатов, как , напр., теорему о существовании моделей. Булевы алгебры находят широкое применение также в неклассической логике, в теории меры, в функц. анализе, к основаниям теории вероятностей.

Определения:

Бинарная операция – такая операция мат. логики, когда связ.-ся два высказыв.-я в новое, более сложное высказывания.(конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквив.-ть)

Унарная операция – так. операция, в кот. участвует одна пропорциональная связка и одно высказывание. Такими операциями явл.: операция отрицания  или , операция необходимости , операция возможности .

Пустое множество – мн.-во, не имеющее эл.-тов (обознач.  ) - явл. подмн.-вом любого мн.-ва. В операциях с пустыми мн.-вами действуют след. правила:

  М = М   М =   \ М= М \  = М.

Непустое мн.-во – такое мн.-во, кот имеет хотя бы один элемент.(обозн. М ).