38.Обратные матрицы. Методы нахождения обратной матрицы.

Рассмотрим матрицу . Квадратная матрица ( ) называется левой (правой) обратной матрице , если выполняется отношение BA=E (AC=E). Обратная матрица существует не всегда. Если существует левая и правая обратная матрицы, то они совпадают и такая матрица называется обратной матрицей (обозначается ).

(BA)C=EC=C  B(AC)=C  BE=C  B=C

Методы нахождения обратной матрицы:

1. метод, основанный на использовании элементарных преобразований над строками матрицы:

1. перемена местами двух строк;

2. умножение строки на отличное от нуля число;

3. прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число.

Справа к исходной матрице дописываем единичную матрицу: (A|E) и приводим матрицу А при помощи элементарных преобразований над строками к единичной матрице, выполняя те же операции над матрицей Е. В итоге, когда слева получим единичную матрицу, справа будем иметь обратную матрицу: (E| ). Если А невозможно привести к виду единичной матрицы, то она не имеет обратной матрицы.

2. вычисление обратной матрицы с помощью определителя

Теорема: квадратная матрица имеет обратную  когда она не вырождена (ее определитель |A|0). Тогда обратную матрицу можно вычислить по формуле: , где

- союзная матрице ,

- алгебраическое дополнение к элементу .

39. Определенный инт-л и его св-ва

Опр. Мн-во точек наз. разбиением , если вып. усл-е

- -й частичный отр. разбиения

- длина отр.

- диаметр разбиения

Опр. - промежуточные точки

Опр. - интегральная сумма

Опр. наз. пределом интегр. сумм при , если :

Опр. Ф-я наз интегрируемой по Риману на отр. если . При этом наз определенным инт-лом .

1. Геом. смысл - площадь ступенчатой фигуры

2. 

Необходимое усл-е инт-ти.

Если - огр. на

Классы интегрируемых ф-й

Th1. - монотонна и огр. на

Th2.

Крит. Лебега инт-ти ф-и

Опр. Мн-во имеет лебегову меру 0 ( ), если (конечная или счетная сист. отрезков):

1) (покрытие мн-ва )

2) Сумма длин этих отрезков

Св-ва:

1. Если ,

2. Если ,

3. 

Критерий Лебега

- мн-во т. разрыва

Th3. - огр. на и имеет не более чем счетное число точек разрыва

Св-во опред. инт-ла.

1. :

2. :

3. , ,

4. ,

5. :

Оценки инт-лов

Th1. ,

Th2. ,

Th3.

Th4.(о среднем) , , , :

Сл-я:

1) :

2) :

Ф-ла Ньютона-Лейбница

, - первообр , то

Прим. опр. инт-ла.

• Несобств. инт-лы.

- перв. рода

- втор. Рода

• Длина кривой

Опр. - кривая

Опр. Кривая наз. спрямляемой (имеющей длину), если мн-во длин самих ломаных огранич. сверху.

Th. , , тогда кривая - спрямляема

1. параметрич. задание

2. аналит. зад-е ,

3. полярное задание

• Площадь фигуры

Опр. Многоугольной фигурой наз-ся конечное объединение многоугольников

- площадь многоугольной фигуры

Опр. - квадрируема, если

Опр.

Th. - квадрируема,

Опр. - криволин. сектор.

Th. - квадр. и

40. Определения теории графов. Задачи оптимизации на графах.

Графом G называют пару множеств (V,E) , где V={1,2,..,n} – множество пронумерованных вершин, т. е. V={V₁,V₂,…,V_n }, а E={e} – набор упорядоченных или неупорядоченных пар вершин e={v_i,v_j}. Неупорядоченная пара вершин, называется ребром, а упорядоченная - дугой .

Граф содержащий только рёбра(дуги), называется неориентированным (ори­ен­ти­ро­ванным). Граф, содержащий кратные ребра, называется мультиграфом.

Вершины V₁, V₂ называются смежными, ели они образуют ребро или дугу e={V₁,V₂}. Говорят, что V₁, V₂ инциденты ребру (дуге) e.

Каждому n-вершинному графу соответствует матрица смежности n x n C=||C_ij||, C_ij= количество ребер, соединяющих вершины i и j. (С_ii = 0; симметрична относительно диагонали; )

Граф G=(V,E) называется частью графа G=(V,E), если VV, EE.

Часть G графа G называется суграфом, если V= V, EE. G называется подграфом, если VV, а E’ содержит все ребра инцидентные v_i,v_jV.

|V|, |E| - величины показывающие количество вершин и ребер графа соответственно.

По количеству ребер можно выделить следующие виды:

1. E_n |V| = n, |E| = 0 – пустой граф (груда);

2. Противоположный Е_n , K_n полный граф (клика), у которого все вершины попарно смежны. Число ребер в n-мерной клике n(n-1)/2;

3. Имеющие вид многоугольников – циклы.

Связный граф не содержащий циклов называется деревом.

Остовным деревом графа называется связный суграф этого графа не содержащий циклов.

Задачи оптимизации на графах:

1. Задача о минимальном остовном дереве;

Дан n вершинный граф, каждому ребру которого ставится в соответствие c_ij. Множеством допустимых решений явл. Мн-во остовных деревьев данного графа. Необходимо найти такое ОД:

Алгоритм Краскала

Исходные данные: связный взвешенный граф с n>0 вершинами.

1. построить пустой граф с n вершинами;

2. k=0;

3. если k=n-1, то конец;

4. k=k+1;

5. найти k-ое по возрастанию весов ребро графа;

6. если добавление ребра в граф не приводит к появлению цикла, то добавить его;

7. перейти к шагу 3.

КОНЕЦ

2. Задача раскраски графа;

Постановка задачи: правильно раскрасить граф, т.е. такое приписывание вершинам графа номеров цветов, что любые две смежные вершины имеют разную окраску.

3. Задача о кратчайшем пути между парой вершин;

Постановка задачи: если граф невзвешенный, то получаем задачу поиска пути лабиринта; если граф взвешенный -> задача нахождения кратчайшего пути, при этом задана стоимость прохождения.

41.