27. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2го порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида: , p,q R (1)

Для нахождения общего интеграла уравнения (1) достаточно найти частное решение этого неоднородного уравнения и сложить его с общим решением соответствующего однородного уравнения.

Поскольку общий интеграл однородного уравнения известен, можем с помощью квадратур получить частное решение неоднородного уравнения, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.

Данный метод покажем в частном случае, когда уравнение (1) имеет вид: (2)

Общий интеграл однородного уравнения имеет вид:

О бщий интеграл неоднородного уравнения:

u

Ч астное решение неоднородного уравнения будем искать: (3)

y₁ y₂

В решении (3) v₁ и v₂ есть функции от переменной x. Имея не одну, а две искомые функции, мы можем кроме исходного уравнения подчинить их ещё одному условию. (4)

То мы имеем систему двух уравнений для отыскания функции v₁, v₂. Продифференцируем соотношение (3):

Учтём (4): (*)

Учитывая тот факт, что y₁ и y₂ есть решения однородного уравнения (2), т.е. соотношение [ ]=0, будем иметь условие:

Имеем систему для отыскания функции v₁, v₂:

Запишем первообразную функций в виде интегралов с переменным верхним пределом и обозначим переменную через . Тогда: , где x₀ – некоторое фиксированное число.

Подставим найденное значение f в решение (3), будем иметь:

.

Решение можно представить в виде, если ввести множители под знак интегрирования, то получим: .

Окончательное решение исходного неоднородного уравнения будет иметь вид:

(**)

Соотношением (**) определено общее решение исходного неоднородного уравнения (2), не содержащего первую производную.

При решении линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами во многих случаях удаётся без труда подобрать частное решение и тем самым свести решение задачи к отысканию решения соответствующего его однородного уравнения.

28. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння n-го порядку з сталими коефіцієнтами. Спеціальна права частина.

29.

30.Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

Пусть V и W два различных линейных пространства над полем комплексных чисел . A:VW , которое ставит в соответствие каждому вектору x пространства V некоторый вектор y пространства W будем называть оператором A, действующим из V в W.

Пример: 1.Для фиксированного числа  линейным оператором является отображение VV , пропорциональное тождественному и переводящее произвольный вектор xV в вектор x.

2.Отображение дифференцирования d будет оператором в пространстве P(R) всех вещественных многочленов.

Оператор А называется линейным, если выполняется два условия:

1.Свойство аддитивности А(х1+х2)=Ах1+Ах2.

2. А(х)=Ах.

Обозначим через L(V,W) множество всех линейных операторов, действующих из V в W.

Два линейных оператора А и В будем считать равными , если для любого xV Ax=Bx .

Под суммой двух линейных операторов А и В принимают оператор А+В , такой что для любого xV : (А+В)х=Ах+Вх.

Под произведением линейного оператора А на число , принимаем число А , такое что для любого xV (А)х=Ах.

Оператор  называется нулевым, если для любого xV х=0.

Свойства операций сложения и умножения лин. операторов:

1. *А*В)=(*А)*В=А*(*В).

2. А*(В+С)=А*В+А*С.

3. (А+В)*С=А*С+В*С.

4. (А*В)*С=А*(В*С)=В*(А*С).

Ядром лин.оператора А L(V,W) называется такое множество KerA векторов пространства V ,что  х KerA А*х=0.

Образом оператора А называется множество ImA всех векторов пространства V, каждый из которых имеет преобразование ,то есть если у ImA, то  хV, у=А*х.

Размерность подпространства ядра KerA наз. деффектом оператора А dim(KerA)=defA.

Размерность подпространства образованного оператором ImA наз. рангом оператора Dim(ImA)=rangA.

Число  называется собственным значением (числом )

лин.оператора А  L(V,W), если в пространстве V можно найти такой ненулевой вектор х, что :

А*х=*х, х0 (1).

Любой ненулевой вектор, удовлетворяющий этому равенству называется собственным вектором оператора А.

Равенство (1) можно записать в виде:

(А-)х=0, где -тождественный оператор.

Так как х, то ясно,что dim(KerA) 1.

Пусть n - размерность пространства V. Известно, что

dim(Ker(А-))+ dim(Im(А-))= n

 rang(А-)<=n-1, но тогда det (А-)=0.

Таким образом, если  является собственным значением оператора А , то  является корнем характеристического уравнения

det(А-)=0.

Теорема: Для того, чтобы комплексное число  было собственным значением лин.оператора А необходимо и достаточно,чтобы это число являлось корнем характеристического уравнения det (А-)=0.