22. Классификация изолированных особых точек фкп. Интегральный вычет.

Особая точка – точка, в которой функция теряет аналитичность.

Различают ос. т. : однозначного характера (в её окрестности ф-я однолистна), многозначного (!неоднолистна) и неоднозначного (!точка ветвления).

Особенность наз. изолированной, если есть окрестность в которой эта точка единственна.

Пусть - особая точка. Если:

- устранимая особенность

- полюс

не существует – - существенно особая точка

Теорема (Римана об устранимой особенности): В устранимой особ. Точке функцию всегда можно доопределить до аналитической.

Теорема (Сохоцкого): - существенно особая точка, тогда = А

Кратность полюса – это кратность нуля обратной функции.

Если - существенно особая точка, тогда:

- если ряд Лорана не содержит отриц. степеней - - устранимая особенность;

- если содержит n отриц. степеней - - n-кратный полюс;

- если содержит бесконечно много отриц степ. - -существенн*ая особенность.

Пусть - особая точка функции f(z). Тогда - вычет функции относительно её особой точки.

Нахождение в общем виде:

- коэф. при -1-й степени в ряде Лорана.

Методы вычисления интегральных вычетов:

1. - устранимая особенность: .

2. - простой полюс:

3. - n-кратный полюс:

Продифферегцируем n раз:

4.

- простой полюс

5. - существенно особая точка:

Теорема (Коши о вычетах)№1:

Пусть f(z) – аналитична в , кроме конечного числа особых точек .

Т огда : . z1

zn

Док-во: вырежем особенности так, чтобы их окрестности не пересекались, то что осталось - , где - окрестность n-й точки. f(z) – аналитична в D1 вплоть до замыкания.

По интегральной теореме Коши:

Теорема доказана.

Рассмотрим точку . Если заключить её в окружность так чтобы все особые точки попали внутрь, а она была снаружи, то - вычет на бесконечности. Других методов вычисления вычета на бесконечности нет!!!

Теорема (Коши о вычетах)№2:

Пусть f(z) – аналитична в С, кроме конечного числа особых точек .

Тогда : .

Теория вычетов применяется к

1)вычислению вещественных интегралов по замкнутому контуру: , где

2)вычислению несобственных интегралов вида (непосредствеено применяется Теорема1 Коши о вычетах):

Также применяется к суммированию рядов и в гидродинамике.

23. Кратные интегралы (двойные, тройные): определение, основные свойства. Применение.

Пусть в n-мерном пространстве Rⁿ задана ограниченная область Ω с кусочно-гладкой границей Г (Ω`=Ω+Г) и на Ω (или Ω`) задана функция f(x)=f(x₁, …, x_n).

называется мерой множества Ω, а само множество Ω называется измеримым.

Разрежем Ω` на части Ω_j, пересекающиеся разве что по своим границам, которые будем считать кусочно-гладкими. Для краткости будем говорить, что мы произвели разбиение ρ множества Ω (способ разбиения не имеет значения).

Введем понятие диаметра множества Ω ­­– это есть точная верхняя грань .

Выберем в каждой части Ω_j по произвольной точке ξ^j=(ξ^j₁. …, ξ^j_n ) (ξ^j Ω_j) и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой Римана функции f, отвечающей разбиению ρ.

Предел суммы

,

когда максимальный диаметр частичных множеств Ω_j стремится к нулю, называется кратным интегралом от функции f на Ω (или по Ω`).

Рассмотрим трехмерное пространство R³, в котором определена прямоугольная система координат (x, y, z). В нем задана непрерывная поверхность z=f(x, y), (x, y) Ω, где Ω – ограниченное двумерное множество, для которого возможно определить понятие его площади (двумерной меры). В качестве Ω может быть взят круг, прямоугольник, эллипс и т. д. Ставится задача: определить объем тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, y), снизу плоскостью z=0 и с боков цилиндрической поверхностью, проходящей через границу Г плоского множества Ω, с образующей, параллельной оси z. Решая задачу о нахождении объема, проводим рассуждения, аналогичные приведенным выше для n-мерного случая. Приходим в результате к определенному двойному интегралу (Римана)

.

Пусть теперь в трехмерном пространстве R³, где определена прямоугольная система координат (x, y, z), задано тело Ω (множество) с неравномерно распределенной в нем массой и плотностью распределения m(x, y, z) тела Ω. Решая эту задачу, приходим к определенному тройному интегралу (Римана)

.

Свойства кратного интеграла:

1. Линейность:

2. Аддитивность: если и Ø, то

3. Интегрирование неравенств: если f(x)≥g(x), то

4. Теорема о среднем: Пусть функции f(x) и g(x) ограничены и интегрируемы на множестве Ω, g(x) не меняет знака на Ω. Тогда существует такое число : .