16. Оценка статистической значимости параметров линейной регрессии

Выполним оценку значимости отдельных параметров

b1 : H₀: b₁=0 при H₁: b₁≠0

Здесь:

Где (но независ. величина).

заменяем её несмещенной оценкой . В результате получаем статистику , которая имеет t- распределение Стьюдента с числом степени свободы k=n-2

- стандартная ошибка параметра b1.

По таблице находится t кр = _/

Если │t наб│<t кр, то H₀ подтверждается. В противном случае наоборот.

Аналогично выполняется проверка значимости параметра b0 и коэффициента корреляции r_xy. Их стандартные ошибки вычисляются по след. формулам:

, , , и т.д.

Верны следующие формулы:

17. Интервальные оценки для коэффициентов парной регрессии

Построим интервальную оценку, для которой регрессия .

Предположим, что H₀: прошла предположительный тест, тогда с вероятностью можно утверждать, что выполняется след неравенство:

Т.о. интервал ( с вероятностью накрывает гипотетическое значение . Данный интервал называют доверительным интервалом, а доверительной вероятностью. Аналогично строятся интервальные оценки для коэффициента : .

Для

18. Доверительная область для линии регрессии.

Рассмотрим линейную функцию:

Запишем уравнение регрессии в след. виде: и найдем дисперсию:

, , где

(не известна)

Отсюда,

И

Заменяя ее несмещенной оценкой S, получаем формулу для вычисления стандартной ошибки : (1)

Можно показать, что при выполнении предпосылок 1-5 статистика при каждом фиксированном х имеет t-распределение Стьюдента с числом степеней свободы k = n – 2. Отсюда, повторяя выкладки можно получить доверительный интервал для каждого фиксированного х:

Где определяется из формулы (1)

Замечание! Из формулы (1) видно, что ошибка зависит от х и наименьшее ее значение будет при х= и по мере удаления от как в ту сторону, так и в другую она будет возрастать.

19. Доверительный интервал для прогнозных индивидуальных значений зависимой переменной

Зафиксируем некоторое значение фактора х₀. Для этого значения модельное уравнение регрессии имеет вид: (1)

Прогнозное значение модели:

Найдем дисперсию D( ): из уравнения (1) видно, что эта дисперсия получена суммированием D( ) в точке х=х₀ + D , т.к. явл-ся const для любого наблюдения.

Отсюда,

Получаем доверительный интервал: для индивидуального прогнозного значения.

20. Коэффициент детерминации и средняя ошибка аппроксимации

Для оценки качества линейной связи, определяют коэффициент детерминации, как квадрат линейного коэффициента парной корреляции Для оценки точности нелинейных регрессий используют величину аналогичную коэф детерминации и называемую индексом детерминации.

Индекс детерминации используется для проверки значимости нелинейных уравнений регрессии с помощью критерия Фишера: F=(R²/(1- R²)) * ((n-m-1)/m), где m- число парной модели.

Сравнивается с Fкр, , k1=m, k2=n-m-1. Если F>Fкр, следовательно, уравнения статистически значимы. Пусть R² – индекс детерминации, r²_ху- коэф детерминации линейной модели. Разница м/у 0<= R² - r²_ху<=0,1, то нелинейную модель можно заменить линейной, более простой. В противном случае, т.е. R² - r²_ху>0,1 используют t-статистику t= (R² - r²_ху)/m _|R-rху|

где

Если |t|>tкр, то различия м/у показателями R² и существенны и замена нелинейной модели на линейную недопустима. Коэффициент детерминации может принимать значения [0; 1]. Чем ближе к 1, тем лучше качество связи. Значение коэффициента

детерминации показывает долю вариации (изменения) результативного

показателя, обусловленную вариацией (изменением) фактора.

Значение (1- г²_ху ) показывает долю вариации (изменения) результативного показателя, обусловленную вариацией (изменением) прочих факторов, неучтенных в модели.

Допустим г²_{х у} = 0,758. Следовательно, на 75,8 % изменение доли расходов

на питание обусловлено изменением величины расходов на конечное

потребление и только на (1-0,758) 24,2 % связано с влиянием прочих

факторов, не исследуемых в данной модели.

Средняя ошибка аппроксимации

Для оценки качества однофакторной модели в эконометрике используют коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.

С редняя ошибка аппроксимации определяется как среднее отклонение полученных значений от фактических

Допустимая ошибка аппроксимации не должна превышать 10%.

Коэффициент эластичности

В эконометрике существует понятие среднего коэффициента эластичности Э – который говорит о том, на сколько процентов в среднем изменится показатель у от своего среднего значения при изменении фактора х на 1% от своей средней величины: