26. Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе

После этапа параметризации полученное уравнение множественной регрессии в натуральном масштабе

y͂ ≈ b₀+b₁x₁+b₂x₂+….+b_px_p (1)

Если факторы х₁, х₂, …,х_р имеют одинаковую размерность (нап., в метрах), то можно соизмерить влияние этих факторов на примере y по значениям абсолютных значениям коэффициентов регрессии |b_j|, j=1, p

Чем больше модуль, тем сильнее влияет фактор на переменную у.

Однако, в общем случае, объясняющие переменные x_j имеет различ. ед. измерения (м., кг, % и т.д.). Поэтому такое сопоставление уже будет недопустимым и некорректным.

Если возникает необходимость в ранжировании факторов по силе воздействия на переменную у, то прибегают к нормированию коэф-в регрессии, то есть определению стандартизированных коэффициентов регрессии по формуле:

a_j = b_j j=1,p (2)

Cтандартизир-ый коэф-т регрессии a_j показывает на сколько в среднем в своих σ_у (СКО) изменяется преимущественно у, если фактор х_i больше на одно свое среднее-квадрат-е отклонение при неизменности своих остальных факторов

зная a_j уравнение множ-й регрессии можно записать в стандарт масштабе

(3)

Где = t_yt_xj –стандарт переменные

j=1, p

Мат ожидание которых = 0, а СКО = 1

сравнивая стандарт коэф-ты |a_j| можно ранжировать факторы x_j по силе воздействия на переменные у, если даже они имеют различную размерность.

Зная a_j можно найти коэффициент регрессии по след формулам:

b_j =a_{j ,} j=1,p

факторы x_j можно ранжировать посредним коэффициентом эластичности

j= 1, p

27. Честные коэффициенты корреляции

Ранжирование факторов по силе воздействия на переменную у также можно выполнить с помощью частных коэффициентов корреляции.

Они характеризуют тесноту линейной связи между у и фактором x_j при устранении других факторов

Если в модели участвуют p факторов, то различают частные коэф-ты корреляции 1-го, 2-го, …, (р-1)-го порядка

Нап.,

Формулы:

Существует связь между:

28. Коэффициенты множественной детерминации и корреляции

По аналогии с парной регрессией можно определить долю вариации зависимой переменной у, объясненную изменением включенных в модель факторов, его общей дисперсии Q, т.е.

(1)

Величину называют коэф-ом множественной детерминации. Его знач. нах-ся м/у . И чем ближе к 1, тем выше качество модели, тем больше модель объясняет поведение у.

Коэффициент детерминации также можно вычислить по другой формуле:

(2)

Если из коэф-та детерминации найти квадратный корень, то полученную харак-ку наз-ют коэффициентом множественной корреляции R. Коэф-нт R явл-ся обобщением коэффициента для парной регрессии, но он харак-ет совместное влияние всех факторов на переменную у. Основное его отличие сост. в том, что , а .

Поэтому коэффициент множественной корреляции не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем ближе R к 1, тем лучше уравнение описывает исходные статистические данные и тем выше качество модели. Коэф. R можно найти без построения самой модели и ее параметров, если использовать матрицу парных коэффициентов корреляции:

(3)

Здесь определитель

определитель нах-ся путем вычеркивания 1-ой строки и 1-го столбца.

Из формулы (1) видно, что знаменатель не зависит от числа р факторов модели, в то время как числитель с ростом р уменьшается. Поэтому при сравнении 2-ч моделей с разным числом факторов неясно за счет чего возрастает показатель : за счет реального влияния дополнительно включенных факторов либо ввиду увеличения самого числа факторов.

Для того, чтобы можно было сравнить с различным числом факторов более объективно нужно в формуле для заменить суммы квадратов отклонений дисперсиями на 1 степень свободы. В результате получится скорректированный (нормированный) коэф-т множественной детерминации:

(4)

Если n – велико, то и мало отличаются друг от друга. С ростом р увеличивается значительно меньше, чем . Считается, что если t-статистика коэффициента при некотором факторе по модулю < 1, то включение этого фактора в модель может привести даже к уменьшению в то время как увеличивается. Поэтому увеличение факторов модели р производится до тех пор, пока существенно увеличится.

В статистических пакетах обычно приводится значение и , и . И они являются суммарными мерами общего качества модели.