36. Методы обнаружения гетероскедастичности

1) Наиболее простым методом обнаружения гетероск-ти является визуальный способ

Для парной регрессии наличие гетероскедостичности может показать построение поля корреляции

y͂=b₀ +b₁ х

Для линейной множественной регрессии визуальная гетероск-ть можно обнаружить, если построить зависимость остатков e_i от расчетных значений y͂_Iзависимой переменной

При наличии гетероск-ти эта зависимость выглядит след образом

Часто для визуального обнаружения гетероск-ти строят график зависимости e_i²

наличие гетероск-ти отсутствие гетероск-ти

Однако, визуально не всегда можно установить наличие или отсутствие гетероск-ти. В этом случае используют специальные тесты на гетероск-ть.

Они основаны на проверке статистической гипотезы Н₀ об отсутствии гетероск-ти

2. Наиболее часто используется тест ранговой корреляции Спирмина

В этом тесте используется наиболее общее представление о зависимости дисперсии ошибок регрессии от значений объясняющей переменной x_i

D(Ɛ_i)= f_i (x_i); i=1, n

Никаких дополнительных пред-й о виде функций t_iв тесте Спирмена не делается, ткже как и о законе распределения случайных величин Ɛ_i

Идея теста заключается в том, что модули остатков |e_i|является некоторой оценкой в случае гетероск-ти будут коррелировать со значениями объясняющей переменной x_i

σ_i =

отсюда используют коэффициенты ранговой кор-и r_xeвычисления которого предназначенно отдельно, ранжируют по возрастанию как значение x_i, так и |e_i|

r_xe =1- (1)

d_i –разность между рангами значений x_iи значением |e_i|в итом наблюдении

доказано, что при проверке Н₀: r_xe=0 (отсутствие гетероск-ти)

t= (2)

имеет t распределение стюдента с k=n-2

если вычисление по формуле (2) |t| > tкр ( ; k=n-2), то гипотеза Н_о отвергается и на уровне значимости α говорит о наличии гетероск-ти/

Для линейной множ-ой регрессии проверка гипотезы Н₀ с помощью t-статистики может вып-ся по каждому фактору отдельно.

3. тест Голдфельда-Квандта

Он используется в том случае, когда случается возмещение Ɛ_i N (0, σ_i²) и причем Ɛ_i и Ɛ_j, i j не коррелируют между собой, т.е. Cov(Ɛ_i; Ɛ_j) = 0

Предполагается, что дисперсия ошибки регрессии пропорциональна значению наблюдаемой переменной, то есть D(Ɛ_i)=σ_i² = σ₂ x_i²

Причем, с ростом x_i дисперсия σ_i² может как увеличиваться, так и уменьшаться

Тест выполняется по след шагам:

1. Значения n наблюдений объясняющей переменной x_i ранжируется в порядке возрастания

2. Вся упорядоченная выборка разбивается на 3 подвыборки: соответственно ( )

3. строятся уравнения парной регрессии y͂=b₁₀+b₁₁x

y͂=b₂₀+b₂₁x

по 1-ой т 3-ей подвыборке соответственно.

Для каждой модели находится сумма: S₁= , S₂=

При наличии гетероскед-ти эти суммы будут существенно отличаться

4. тестируется Н₀: σ₁²=σ₂²=…=σ_n²

Для проверки гипотезы используется статистика

F= , (S₂ > S₁), которая имеет распределение Фишера с числом степеней свободы

k₁=k₂=l - p – 1, По таблице находим Fкр (α; k₁; k₂)

Если F> Fкр, то фиксируется c вероятностью (1-α) присутствие гетероск-ти

Замечание: так же как и в тесте Спирмена для линейной множественной регрессии проверку по тесту Г.-К. можно выполнить по каждой объясняющей переменной отдельно