43. Основные типы дискретных зависимых переменных.
В ранее рассматриваемых моделях зависимая переменная у явно или неявно предполагалась некоторой непрерывной величиной, которая могла принимать любые значения из некоторого числового промежутка. Часто на практике интересующая нас зависимая переменная носит дискретный характер. Например, можно исследовать зависимость количества автомобилей в семье от уровня доходности семьи.
Рассмотрим основные типы таких переменных:
1. Номинальные переменные.
Рассмотрим следующие примеры:
а) Семейное положение мужчины м/б выражено след категориями: -холост, -женат, -разведен, -вдовец
б) Решение о покупке товара: - да, -нет
в) Выбор специальности при поступлении в ВУЗ: -бухгалтер, -менеджер, -финансист
В приведенных примерах выбор осуществляется из 2 или более альтернатив. Если имеется только 2 альтернативы, то поведение переменной можно описать бинарной величиной, принимающей 2 значения – 0 и 1.
Если же имеется К альтернатив и К>2, то поведение такой переменной описывается величиной, принимающей целое значение 1, 2, …, К.
Главная особенность приведенных примеров состоит в том, что альтернативы нельзя естественным способом упорядочить, т.е. присвоить им номера от 1 до К. Эта нумерация является произвольной и зависит от исследователя. такие переменные называют номинальными.
2. Порядковые переменные.
Как и в предыдущем случае имеется несколько альтернатив, но они м/б естественным способом упорядочены. Примеры:
а) доход семьи: -низкий, -средний, -высокий, -очень высокий
б) уровень образования: -начальное, -неоконченное среднее, -среднее, -неоконченное высшее, -высшее
в)состояние больного: -плохое, -удовлетворительное, -хорошее
Такие переменные называют порядковыми (ранговыми).
3. Количественные целочисленные переменные.
Примерами таких переменных м/б:
-количество предприятий в городе Казани обанкротившихся в текущем году (0,1,2,.. n)
- количество частных ВУЗов в Казани (0, 1,2,.. n)
- число прибыльных предприятий в текущем году (0, 1,2,.. n)
Для моделей с дискретными зависимыми переменными формально возможно использование МНК для оценки параметров. Однако с содержательной точки зрения, удовлетворительные результаты можно получить только для моделей с количественными целочисленными переменными. Если в модели зависимая переменная является номинальной с количеством альтернатив более 2, то результаты оценивания МНК теряют смысл в силу произвольности нумерации альтернатив. Отсюда, требуется разработка других регрессионных схем отличных от стандартных.
44. Модели бинарного выбора. Линейная модель вероятности.
Рассмотрим простейшие модели бинарного выбора (одна из 2х альтернатив). В таких моделях зависимая переменная может принимать только 2 значения – 0 и 1.
Рассмотрим это на примере покупки автомобиля в некоторой семье.
Будем считать что yi=1, если семья в течение исследуемого периода приобретает автомобиль,
yi=0, в противном случае.
На решение семьи о покупке авто влияют многие факторы:
-доход семьи
-кол-во членов семьи
-возраст
-место проживания и т.д.
Эти факторы можно количественно измерить и их набор можно представить в виде x=(x1,x2,…,xn)
Помимо этого на решение о покупке авто могут влиять неучтенные, либо случайные факторы (лечение членов семьи, затопление квартиры и т.д.). Эти факторы будем учитывать Ei.
Выдвигая различные предположения о зависимости переменной у от вектора х можно получить различные модели бинарного выбора, из которых рассмотрим 3:
(1)
– линейная регрессионная модель
Поскольку yi принимает 2 значения, то находим мат ожидание от обеих частей выражения (1) получим:
В итоге:
(2)
– линейная модель вероятности.
Главный ее недостаток в том, что если по полученному уравнению регрессии выполнить прогнозирование, то рез-т может не принадлежать отрезку [0,1], что не отвечает понятию «вероятность события»: = b1x1+b2x2+..+bpxp
Чтобы этого избежать пробуют найти модель ,когда Р(yi=1) является нелинейной функцией.
Р(yi=1)
= F(β1,β2,…,βp,x1i,…,xpi),
причем область значения F
[0,1]
Такими свойствами обладают функции распределения вероятностей.