7. Точечные оценки параметров распределений и требования к ним.

Точечной называют статистическую оценку параметра, который определяется 1 числом. Таких оценок может быть множество. Из них требуется выбрать ту, которая удовлетворяет условиям: несмещенности, эффективности, состоятельности. Несмещенной оценкой называют такую оценку мат ожидания которое равно оцениваемому параметру, т.е.

1. М( )= θ.

2. Оценка называется эффективной, если при одном и том же объеме выборки она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных точечных оценок.

D( ) = P( ).

3. Состоятельной называют точечную оценку, когда при увеличении объема выборки n→∞ она по вероятности стремится к оцениваемому параметру. Иначе с ростом n точность оценки возрастает.

В качестве оцениваемых параметров наиб часто исп-ся матем ожидание, дисперсия, СКО.

В качестве несмещенной оценки матем ожидания m исследуемой СВ х исп-ся выборочная средняя

=

Выборочное среднее не только несмещенная оценка, но и эффективная.

Выборочная дисперсия является смещенной точечной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии, выборочную дисперсию D_в «исправляют» вычисляя исправленную выборочную дисперсию по формуле

S²= D_в= - несмещенная и эффективная оценка дисперсии генеральной совокупности

Очевидно S= будет несмещенной и эффективной оценкой СКО σ генеральной совокупности.

8.Интервальные оценки параметров распределений.

Интервальной оценкой исследуемого параметра называют оценку ,которая определяется двумя числами θ1, θ2, которые являются границами интервала, накрывающего оцениваемый параметр θ с некоторой вероятностью γ. интервал (θ1, θ2) – называют доверительным интервалом, а величину γ доверительной вероятностью. Доверительный интервал характеризует точность полученной оценки, а доверительный интервал γ надежность. Доверительный интервал для математического ожидания m х имеющий нормальные законы распределения вычисляется по след формулам.

- при известной σ

-t <m< +t

-неизвестной σ

- <m< +

t-значение аргумента функции Лапласа Ф(t), которая находится из равентства Ф(t)=

t_кр-критическая точка распределения Стьюдента, которая находится по таблицам этого распределения 2-ум входным данным

к=n-1 –число степеней свободы.

=1- α-заданный уровень значимости.

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения σ при нормальном распределении.

S <σ< S

, это критические точки χ² распределения, находимые из таблиц этого распределения по 2м числам. α- уровень значимости . К=n-1. Для дисперсии σ² доверительный интервал определяется по формуле:

S² <σ²< S²

9. Общая схема статистической проверки гипотез.

Статистической называют гипотезу либо о законе распределения СВ, либо о параметрах известного распределения. Выдвинутую гипотезу обозначают Н_о. Альтернативную гипотезу Н₁ и она всегда противоречит Н_о. Для статистической проверки Н_о используют специально подобранную случайную величину К, называемую статистическим критерием, законы распределения которой либо известен, либо найден с приемлемой точностью. Область реализации случайных величин К разбивается на 2 непересекающихся подмножества. Одно из которых называют областью принятия гипотезы Н_о, а другое критическое областью. Точки, разделяющие эти подмножества обозначают К_кр и называют критическими точками.

В зависимости от альтер. гипотезы Н₁ критическая область бывает правосторонней, когда значение (К>К_кр) и левосторонней (К<К_кр), двухсторонней (К<К_кр1, К>).

Принцип статистической проверки прост. Если К_набл –вычисленное значение статистического критерия, на элементах выборки попадает в критическую область, то принимается гипотеза. В противном случае принимается гипотеза Н_о .

В зависимости от выдвинутой гипотезы используют несколько стандартных схем. Рассмотрим одну из них. Гипотеза о матем ожидании, нормально распределенной СВ при ее известной дисперсии

Х ~ N(m, σ). σ -известно, m- неизвестно.

Н_о:m=m₀ x₁, x₂…, x_n → α=(0,1÷0,001) U= ~N(0,1)

Если Н₁:m ≠m0, то критич область будет двусторонней и ее границы определяются по U_α/2 и U_{1- α/2}= -U _α/2 U_α/2 → Ф(U_α/2)= < U_α/2→H_o

≥ U_α/2→H₁

Если Н₁:m>m₀ то критическая область будет правосторонней и ее граница находится

Ф(U_α)= <U_α→ H_o

Если H₁: m<m0 критическая область будет левосторонней

U_{1- α}=- U_α >- U_α → H_o