52.Нестационарные временные ряды.

Нестационарные ВР отличаются от стационарных прежде всего тем, что автокоррэляционная функция зависит от текущего времени t.

(τ)= =γ(t,τ)

В экон. практике принято рассматривать 2 типа нестационарных ВР.

1.ВР с детерминистическим трендом

2.ВР типа «случайных блужданий».

К первому типу относятся ряды, кот можно менять либо у_t=b₀+b₁t+E_t линейным трендом, либо y_t=b₀+b₁t+b₂t+E_t параболич. трендом , либо др трендом.

у_t=b₀+b₁t+E_t

y_t=b₀+b₁t+b₂t+E_t

П одобного рода нестац точки нетрудно преобразовать в стационарные. Рассм это на примере лин-го тренда.

у_t

∆ у_t

у_t=b₀+b₁t+E_t

у_t=b₀+b1(t-1)+E_{t -1}

∆ у_{t =} y_1-y_t-1=b₁₊E_t-E_t+1

∆ у_t =b₁+E_t-E_t+1 уже не содержит тренда

В исходном ВР если E_t явл-ся независ. случ величиной, то (E_t-E_t-1) таким св-ом обладать не будет. Аналогично можно преобразовать в стац-ый ряд ВР с параболич. трендом , но в этом случае придется ввести в рассмотрение разность второго порядка . ∆²y_t= ∆y_t- ∆y_t-1

Второй тип нестац. рядов типа «случайных блужданий» записывается в виде след ур-я: y_t=ρy_t-1+ε_t+μ

в зависимости от значений ρ различ след случаи:

1. [ρ]<1, тогда ВР явл-ся стационарным.

2. [ρ]≥1, явл-ся нестационарным. При этом [ρ]>1знач ур-ий ряда стремительно возрастают и соответствующий процесс называют «взрывным».

В эк-ке таких процессов практически не бывает и поэтому основной упор при использов нестац ВР такого типа делается на исслед-е случаев когда ρ =1, и поэтому соотв задачу : Верно ли что в ур-ии (1) ρ=1? Наз-ют проблемой единичного корня.

Вычтем из ур-ия (1) из обеих частей значение y_t-1:

∆y_t=y_t-y_t-1=(ρ-1)y_t-1+E_t+μ введем λ=ρ-1, => ∆y_t= λ y_t-1+E_t+μ (2)

Для получения ВР проблема единичного корня сводится к задаче: верно ли что в модели (2) истинное значение λ=0? Если ответ +, тогда ряд (2) нестац-ый и для преобразования его в стац-ый можно использовать разности более высоких порядков. ∆² y_t=∆y_t-∆y_t-1 и тд. Проблема единичного корня решается с помощью теста Дики-Фуллера, который присутствует в современных регрессионных пакетах.

53. Динамические модели. Модели авторегрессии и скользящей средней.

В эконометрике получили широкое распр-е модели, в кот-м в качестве регрессора выступают лаговые переменные, влияние кот-го хар-ся некот-м запаздыванием, т.е. значение переменных в прошедшее время. В качестве лаговых переменных могут исп-ся не только факторы, но и завис-ые переменные у, а также ошибки регрессии. Такие модели наз-ют динамическими. Т.к. в рассм в текущ момент времени учит-ся значения переменных относящ-ся к предыдущ моментам врем, т.е такие модели отражают динамику исслед-х переменных.

Различают 2 вида динамич-х моделей:

• в моделях 1го типа лаговые знач переменных непосредственно включены в модель. К ним относят: модели авторегрессии, модели скользящего среднего, модели с распред лагом.

• Модели 2го типа включ переменные, кот характеризуют ожидаемый ур-нь результирующего признака или какого-либо фактора в момент времени t. Этот ур-нь считается неизвестным и опред-ся с учетом инф-ции, кот-ой располагают в предыдущ моменты времени. К ним относят: модель адаптивных ожиданий, модель рациональных ожиданий, модель неполной корректировки и др.

Рассмотрим вначале модели 1го типа и в частности модель авторегрессии:

Модели авторегрессии – это класс модели времени, в кот текущее знач-е моделируемой переменной у записывается в виде линейной ф-ии от прошлых знач-ий самой этой ф-ии, т.е

y_t=β₀+β₁y_t-1+β₂y_t-2+……β_py_t-p+E_t, t= (3) эту модель называют авторегрессионной моделью p-го порядка. В зарубежной литературе такие модели обознач-ся символом AR(p)

В ур-ии (3) E_t - так называемый «белый шум», т.к стационарный случайный процесс с М(E_t)=0; D(E_t)=σ²=Const; M(E_t,E_t-τ)=0

Коэф-т β₁харак-ет изм-е признака у в момент t под воздействием своего знач в прошлый момент (t-1) и аналогично харак-ся другие коэф-ты модели. Опред-е оценок коэф модели (3) невозможно вып-ть методом МНК, т.к. не выполняются основные предпосылки МНК и поэтому оценки коэффициентов получаются смещенными. Поэтому оценки коэф-ов модели (3) опред-ют из след. ур-ий, называемых системой Юла-Уолкера.

b₁, b₂… b_p неизвестные, представл собой оценки β₁, β₂, β_p.

выборочные коэф-ты автокорреляции i порядка, i=

b₀=(1-b₁-b₂-…..-b_p)* ,

= . В частном случае для AR(1), т.е. для y_t=β₀+β₁y_t-1+ε_t система превращается b₁=

Для анализа моделей авторегрессии наряду с автокорреляционной ф-ей исп-ют частную автокорреляционную ф-ию, = (τ) τ=2,3…

Кот-ю находят используя формулу Кремера.

= (5)

В качестве порядка р модели AR(p) можно рассматривать такое число р, начиная с кот-го все последующие оценки выборочной частной коэффициента корреляции вычисляемой по формуле (5) отклоняются от 0 не более чем на ± , т.е. < , k=p, p+1..

Модель скользящей средней q-го порядка имеет вид:

y_t=ε_t+γ₁ ε_t-1+ γ₂ ε_t-2+…+ γ_q ε_t-q (6), т.е. результирующий признак у является линейной функцией от ошибок регрессий в текущ и прошлые моменты времени.

В зарубежной литературе обозначается: MA(q)

В частном случае для модели 1го порядка уравнение будет след МА(1)

y_t=ε_t+γ₁ ε_t-1

А оценка параметра γ₁ обозначиваемая через d₁ опред-ся как решение квадратного ур-ия. d₁²+ +1=0, где - выборочный коэффициент автокорреляции 1го порядка.

В последнее время в эконометрике широкое распространение получили модели называемые авторегрессионной моделью скользящего средних порядков p и q.

y_t=β₀+β₁у_t-1+…+ β_p у_t-p+ ε_t+γ₁ ε_t-1+ γ₂ ε_t-2+…+ γ_q

Это модель ARMA(p,q)