3. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин

На ряду с законами распределения для описания СВ испол-ют числа, называемые числовыми характеристиками СВ. Различают числовые харак-ки положения СВ (мат. ожидание, мода, медиана и т.д.) и числовые харак-ки рассеивания (дисперсия, среднее квадрат отклонение, центральные моменты и т д)

Мат ожидание СВ характ-ет среднее ожидаемое значение СВ и определ-ся по формуле:

Мат ожидание обладает след. основными свойствами:

1.М(С)=С

2.М(СХ)=СМ(Х)

3.М(Х Y)=М(х) M(Y)

4. Если Х и Y–независимые величины, то M(XY) = M(X) * M(Y)

Дисперсия СВ D(X) определяется как матем. ожидание квадратов отклонения СВ от своего мат ожидания

Свойства дисперсии:

1.D(C)=0

2.D(CX)=C² D(X)

3.D(X Y)=D(X) + D(Y), если Х,У - независимые

СКО вычисляется как δ(х)= =δ

Чтобы оценить разброс в % вводят коэфиц. вариации, определяемый по след. формуле:

V(x) = (δ(x) / lM(X)l ) *100%

4. Системы случайных величин. Законы распределения и числовые характеристики

Упорядоченный набор Х=(Х1,Х2,…,Хn) СВ X_i-ых i = 1,n называют системой СВ n-мерным случайным вектором.

Компоненты X_i м.б. как дискретными, так и непрерывными СВ. Они также м.б. как зависимыми, так и независимыми. Для описания случайного вектора используют след. понятия:

1) Совместную вероятность для ДСВ

2)совместную функцию распределения как для ДСВ, так и для НСВ

F( )=P( )

3)совместную плотность распределения для НСВ

f( ) =

В частном случае, когда n=2, компоненты случайного вектора обозначают (X,Y) и вводят понятие условного закона распределения. Условным законом распределения в одной из равномерн. (одномерном) составляющ. Х или У назыв-ют и закон распределения. При условии, что другая составляющая приняла определенное численное значение.

Например,

Если X,Y-независимые СВ, то послед. Формула записывается:

Построение законов распределения случайных векторов представ. собой трудоемкий процесс. И поэтому для анализа связи СВ исп-ют 2 числовые характеристики:

-ковариацию

-коэффициент корреляции

Ковариацией (ковариац. Моментом) двух СВ X, Y назыв-ют математич. ожидание произведения отклонений этих СВ от своих мат ожиданий, т.е.

=соv(X,Y)=M ((X – m_х)(Y- m_у) = M(XY) – m_х*m_у

Ковариация облад-ет след свойствами:

1.δ_ху=δ_ух

2.δ_хх=δ²_х (дисперсия)

3.если Х,У- независ., то δ_ху=0

4.соv(a + bX, с + dY) = bd cov (X,У)

Ковариации одновременно характер-ет взаимную зависимость Х, У и их рассеивание относительно своих мат. ожиданий. Это создает неудобство при интерпретации этой характеристики, в частности, эта характ-ка имеет другой недост-ок: она зависит от размерности Х,У. Этого недостатка лишен коэффициент корреляции, определяемый по формуле:

В итоге, коэфиц. корреляции уже не зависит от размерности Х,У и характеризует только степень зависимости Х,У.

Св-ва коэф. корреляции:

1. 

2. = 1

3. -1 ≤ ≤ 1

4. если Х,У-незав., то . Обратное не верно

5. Если | | = 1, то Х = а + bY

Общая формула: , если Х,У – зависимые.

Для случая, когда случ. вектор явл-ся n-мерным рассм-ют ковариационную матрицу, являющуюся аналогом дисперсии одномерной СВ

Степень зависимости составляющих случайного вектора характер-ет матрица парных коэф-ов корреляции. Корреляционная матрица: