41.Оценка параметров при наличии автокорреляции.

Рассмотрим подход для оценки параметров модели при наличии автокорреляции на примере линейной парной регрессии.

у_i=β₀+ β₁x_i+E_i (5)

Уравнение (5) в предыдущем уравнении запишется:

у_i-1=β₀+ β₁x_i-1+E_i-1 (6)

пусть имеем автокорреляцию 1го порядка (1) и коэффициент ρ известен.

Умножая (6) на ρ и вычитая его из (5) го уравнения получим

у_i- ρу_i-1=β₀(1-ρ)+ β₁(x_i -ρx_i-1)+E_i -ρE_i-1

введем новые переменные:

у_i’= у_i- ρy_i-1, i=

x_i’= x_i- ρx_i-1, i= (7)

и заметим E_i -ρE_i-1 = η_i

β₀’= β₀(1-ρ)

тогда у_i’=β₀’+ β₁x_i’+ η_i (8)

В уравнении (8) cov(η_i; η_j)=0 оцениваем МНК

b₀’ и b₁ -МНК оценки уравнения (8)

b₀=

получаем = b₀+ b₁(х) - уравнение (5)

Чтобы не терять значения переменных у_i, x_i в первом наблюдении используют поправки Прайса-Уинстона

х₁’= x₁ y₁’= y₁ (9)

т.к. на практике значение ρ неизвестно, то его заменяют оценкой r, вычисленной по формуле (3).

42. Фиктивные переменные в регрессионных моделях.

До сих пор рассматривались модели, в которых независимые переменные носили количественный характер, т.е. они могли принимать числовые значения из некоторого числового промежутка (доход семьи, себестоимость продукции и т.д.).

Однако на практике возникает необходимость исследования влияния на зависимую переменную у качественных признаков, которые могут принимать два или более фиксированных уровней, которые уже не носят числовой характер, а отражают некоторые категории.

Например, - образование служащего м/б начальным, средним, высшим; - пол человека м/б женским и мужским.

Чтобы учесть такие признаки в модели им надо придать количественные значения, т.е. каждому уравнению присвоить некоторые количественные метки. Сконструированные на базе качественных факторов числовые переменные называют фиктивными (индикаторными) переменными.

Участие таких переменных в модели приводит к скачкообразному изменению параметров модели, и в этом случае говорят о регрессионных моделях с переменной структурой. Если в модели учитываются только качественные признаки, то такие модели называют ANOVA-модели (модели дисперсионного анализа).

1. Например, если в модели з/п некоторого предприятия следует учесть уровень образования работника, то она будет выглядеть так:

y_i=β₀+β₁z_i+E_i, i =1,n

z_i=

Отсюда видно, что ANOVA-модели представляют собой кусочно-постоянные функции и они в экономике используются редко.

Модели, в которых используются как количественные факторы, так и качественные, называются ANCOVA-модели (модели ковариационного анализа).

Фиктивные переменные, включаемые в такие модели, являются бинарными, т.е. они могут принимать только 2 значения (как правило 0 и 1).

2. Например, если в модели з/п помимо количественных факторов (стаж работы, возраст и т.д.) учитывается качественный фактор, напр пол работника, то модель будет иметь след вид:

Если качественный фактор может принимать более 2х уровней, например К (где К>2), то потребуется ввести в рассмотрение (К-1) бинарную фиктивную переменную.

Например, если в предыдущей модели з/п учитывала уровень образования, которая может принимать 3 уровня (начальное, среднее, высшее), т.е. К=3, тогда в модель добавляется дополнительно 2 бинарные фиктивные переменные.

где

Если в модели z_2i=z_3i=0 , то i-тый работник имеет начальное образование. Нулевой уровень всех фиктивных переменных называют базовым или сравнительным уровнем модели( в нашем примере: з/п работника с начальным образованием).