37. Устранение гетероскедастичности. Взвешенный метод наименьшего квадрата.
Пусть
дисперсия
i=
известны и cov(Еi,
Еj)=0,
тогда гетероскедастичность легко
устранить, покажем это на примере парной
регрессии.
уi=β0+ β1xi+Ei (1)
Разделим
обе части уравнения (1) на известную
=
:
=
β0
+
β1
+
i=
введем
новые переменные
=
=
=
=
,
=
β0
+
β1
+
(2)
В уравнении (2) уже 2 фактора и постоянное слагаемое отсутствует
Рассмотрим
D(
)=
D(
)=
D(Ei)=
=1=const
Уравнение (2)-гетероскедастичная модель
И оценку параметров β0, β1- делаем обычным МНК и b0, b1 используем в модели (1)
В модели (2) коэффициенты при факторах является взвешенными величинами с весами . Отсюда следует метод получения оценок исходного уравнения (1) называется взвешенным методом наименьших квадратов (ВМНК)
Он в свою очередь является частным случаем обобщенного метода наименьших квадратов.
В обобщенном методе наименьших квадратов предполагается что ковариационная матрица векторов ошибок регрессии имеет произвольный вид с единственным требованием положительной определенности.
то
по теореме Айткена наилучшей оценкой
вектора неизвестных коэффициентов
является b*=(X’
-1X)-1X’
-1Y
На
практике значение
i=
как правило неизвестны, поэтому для
того, чтобы применить взвешенный метод
наименьших квадратов необходимо сделать
реалистические предположения о значениях
,
поэтому в этих случаях говорят не об
устранении гетероскедастичности, а о
ее смягчении. Чаще всего предпологается
что
пропорциональны значениям хi
т.е.
=
2хi
i=
.
В этом случае исходное уравнение уi=β0+
β1xi+Ei
делится на
=
β0
+
β1
+
,
=
β0
+
β1
+
D(
)=
D(
)=
D(Ei)=
=
=const
2ое предположение
=
тогда
исходное уравнение :
,
=
β0
+
β1
+
= β0 + β1+ D( )= =const
38. Обобщенная модель множественной регрессии.
В модели = β0 + β1 + коэффициенты при факторах является взвешенными величинами с весами . Отсюда следует метод получения оценок исходного уравнения уi=β0+ β1xi+Ei называется взвешенным методом наименьших квадратов (ВМНК)
Он в свою очередь является частным случаем обобщенного метода наименьших квадратов.
В обобщенном методе наименьших квадратов предполагается что ковариационная матрица векторов ошибок регрессии имеет произвольный вид с единственным требованием положительной определенности.
то по теореме Айткена наилучшей оценкой вектора неизвестных коэффициентов является b*=(X’ -1X)-1X’ -1Y
На практике значение i= как правило неизвестны, поэтому для того, чтобы применить взвешенный метод наименьших квадратов необходимо сделать реалистические предположения о значениях , поэтому в этих случаях говорят не об устранении гетероскедастичности, а о ее смягчении. Чаще всего предпологается что пропорциональны значениям хi т.е. = 2хi i= . В этом случае исходное уравнение уi=β0+ β1xi+Ei делится на
= β0 + β1 +
= β0 + β1 +
D( )= D( )= D(Ei)= = =const
2ое предположение
=
тогда исходное уравнение :
= β0 + β1 +
= β0 + β1+ D( )= =const