Пифагореизм: превращение математики в науку

Предпосылки для превращения математики в теоретическую науку, какой мы находим ее в "Началах" Евклида, впервые возникли в Древней Греции. Особенно важную роль в формировании древнегреческой математики сыграла пифагорейская школа.

Математика возникла на Древнем Востоке задолго до греков. Но особенностью древнеегипетской и вавилонской математики было отсутствие в ней (за исключением отдельных элементов) единой системы доказательств, которая впервые появляется именно у греков. Особенности древневосточной математики - она носила практически-прикладной характер (с помощью арифметики египетские писцы решали задачи "о расчете заработной платы, о хлебе или пиве и т.д.", а с помощью геометрии вычисляли площади или объемы). В Греции мы наблюдаем появление того, что можно назвать теоретической системой математики: греки впервые стали строго выводить одни математические положения из других, т.е. ввели в математику доказательство. Можно сказать, что математика как наука стала существовать только после систематического введения в нее доказательств". Одной из причин того, что математика стала в Древней Греции теоретической наукой, опирающейся на доказательство, был ее тесный союз с философией. Этот союз определил характер не только древнегреческой математики, но и философии, особенно таких ее направлений, как пифагорейство, платонизм, а позднее - неоплатонизм. Не случайно время возникновения философии - конец VI-V вв. до н.э. совпадает с периодом становления теоретической математики.

В Греции имела место как практически-прикладная математика (искусство счисления), сходная с египетской и вавилонской, так и теоретическая математика, предполагавшая систематическую связь математических высказываний, строгий переход от одного предложения к другому с помощью доказательства. Именно математика как систематическая теория была впервые создана в Греции.

Прежде древнегреческая особенность - новое понимание смысла и цели математического знания, иное понимание числа: с помощью числа пифагорейцы не просто решают практические задачи, а хотят объяснить природу всего сущего. Они стремятся поэтому постигнуть сущность чисел и числовых отношений, ибо через нее надеются понять сущность мироздания. Так возникает первая в истории попытка осмыслить число как миросозидающий и смыслообразующий элемент. То, что у вавилонян и египтян выступало всего лишь как средство, пифагорейцы превратили в специальный предмет исследования, т.е. в цель последнего.

Пифагорейцы первыми возвысили математику до ранее неведомого ей ранга: числа и числовые отношения они стали рассматривать как ключ к пониманию вселенной и ее структуры. Они впервые пришли к убеждению, что "книга природы написана на языке математики", как спустя почти два тысячелетия выразил эту мысль Галилей.

Перемещение математических исследований из сферы практически-прикладной в сферу философско-теоретическую, еще не отделившуюся от религиозно-мистического восприятия мира, послужило тем историческим фактором, благодаря которому математика превратилась в теоретическую науку.

Платон: различает телесное, чувственное начало в человеке и бестелесное, нечувственное (тело и душа). Когда душа находится под влиянием тела, она оказывается подчиненной тем состояниям, которые следует считать "телесными", а именно влечениям к изменчивым, тоже телесным вещам эмпирического мира. Но когда она не подвержена влиянию тела – она в этом случае размышление. Размышление - это состояние самой души, это ее стихия, когда она свободна от тела и неподвластна ему. Все, что относится к миру видимого, зримого, а тем самым чувственного, принадлежит, по Платону, изменчивому, тленному, неистинному; напротив, к истинному миру относится незримое, безвидное, т.е. то, что постижимо умом. Очевидно, что такому разделению двух слоев в человеческом сознании и двух сфер мира - чувственной и умопостигаемой - соответствует различный статус знания об этих двух мирах. И, действительно, все, что мы можем узнать относительно чувственного мира, имеет, согласно Платону, статус не истинного знания, а всего лишь мнения.

В своем учении о едином и многом Платон оказывается пифагорейцем: число является средством постижения чувственного мира. Только такое познание может претендовать на достоверность, которое осуществляется с помощью числа. Такова математика. Платон полностью согласен с пифагорейцами в том, что математическое знание, является единственно достоверным в противоположность тем мнимым знаниям, которые именовались во времена Платона "физикой". Число – идеальное образование, так как это единство предела и беспредельного, возникшее в результате связи противоположностей. Таким образом, в отличие от пифагорейцев, у которых не существовало различия чисел и вещей, Платон такое различие устанавливает: он считает числа отдельными от чувственных вещей, а пифагорейцы - числа самими вещами. Платон помещает математические объекты в промежутке между числами и вещами. Число - это идеальное образование, его нельзя воспринять чувственно, а можно только мыслить, следовательно, как образования идеальные и постижимые только мыслью, числа не отличаются от идей.

Иерархия математических наук. Первой среди математических наук Платон считает арифметику - это наука о самих числах. Вторая наука – геометрия - это наука о том, как выразить на плоскости числа, но она не имеет строго логического обоснования, ибо ее элементы нуждаются для своего обоснования также в пространстве. Пространство лежит как бы между идеями и чувственным миром, оно имеет признаки как первого, так и второго, а именно: подобно идеям, пространство вечно, неразрушимо, неизменно - более того, оно и воспринимается не через ощущение. Но сходство его с чувственным миром в том, что воспринимается оно все же не с помощью мышления - способность, которой мы постигаем пространство, есть некий гибрид, "помесь" между мышлением и ощущением. Вслед за этой наукой идет еще одна, ей подобная – стереометрия – эта наука изучает тела, имеющие три измерения и либо подобные друг другу по своей кубической природе, либо неподобные, приводимые к подобию с помощью искусства. Последовательный ряд наук - арифметика, геометрия и стереометрия - продолжается еще одной наукой - астрономией. Астрономия - четвертая в ряду математических наук, но в то же время она как бы возвращает нас и к началу ряда, поскольку, по Платону, арифметика обязана своим возникновением созерцанию Неба и происходящих в нем перемен. Астрономия изучает закономерность небесных движений, выраженную в точных числовых соотношениях, в этом смысле астрономия - тоже наука математическая, предполагающая знание арифметики и геометрии. В отношении астрономии Платон рассуждает так же, как и в отношении геометрии, различая два возможных к ней подхода: практический и чисто философский.

Перечислив математические науки - арифметику, геометрию, стереометрию, астрономию, Платон завершает этот ряд наук музыкой, которая тоже принадлежит к математическим наукам (изучает гармонические созвучия). Пифагорейцы положили начало музыке как науке: они искали числа в воспринимаемых на слух созвучиях, но не подымались до общих вопросов и не выясняли какие числа созвучны, а какие - нет и почему. Как в астрономии Платон считает лишенным ценности такой подход, при котором глаза ценятся выше ума, так и в музыке он критикует музыкантов-практиков, потому что они пытаются с помощью слуха определить то, что можно определить только с помощью числа, а значит, с помощью мышления, а не чувственного восприятия. В чем же состоит, по Платону, главная цель музыки как математической науки? Главное предназначение музыки - помогать душе восходить от низшего, чувственного бытия, ввысь, к созерцанию сверхчувственного, истинного бытия идей.

Физика Платона. Исходя из убеждения Платона о том, что чувственный мир не может быть предметом научного знания, можно заключить, что он должен был отрицательно относиться к возможности создания физики как науки о природном бытии. Ни о возникновении космоса, ни о его строении невозможно получить точное и достоверное знание; приходится довольствоваться "правдоподобным мифом". Следовательно, физика не может и не должна претендовать на статус науки - таковой является лишь математика. Наиболее важными Платону кажутся, прежде всего, математические законы природы, находящиеся за явлениями, а не сам многогранный мир явлений. Никакая другая задача науки о природе не кажется ему столь существенной, как задача открытия неизменных законов в постоянно меняющихся явлениях... Физика не может претендовать на статус такой же строгой науки, как математика, она не может быть такой же достоверной (наука должна познавать сущности, а не явления), потому что наука имеет задачу открывать неизменные законы в постоянно меняющемся мире явлений. По сути, Платон строит прообраз математической физики.

 

Атомизм

В V - VI вв. до н. э. в Древней Греции получило распространение учение об атомизме (учение о прерывистом, дискретном строении материи), основателями которого считают Левкиппа и Демокрита.

Левкипп - дополнил идею Парменида о едином вечном бытии, считая, что существует бесконечное множество видов бытия, которые различаются по своей форме и величине, они вечные и неделимые сущности. Левкипп также предположил, что существует абсолютная пустота - "небытие" (ранее под "пустотой" понималась "бездна воздуха" и проч.).

Демокрит - являлся последователем представлений Левкиппа. В отличие от Левкиппа Демокрит дает материалистическую трактовку понятию вечных и неделимых сущностей, мысля атом как наименьшую, далее не делимую физическую частицу. Таких атомов Демокрит допускает бесчисленное множество, тем самым отвергая утверждение, что бытие - одно. Атомы, по Демокриту, разделены пустотой; пустота - это небытие и, как таковое, непознаваема: отвергая утверждение Парменида о том, что бытие не множественно. Демокрит различает мир атомов - как истинный. Сущность которой составляют атомы, их свойства и движения. Атомы нельзя видеть, их можно только мыслить. Атомы Демокрита различаются по форме и величине; двигаясь в пустоте, они соединяются ("сцепляются") между собой в силу различия по форме: у Демокрита есть атомы круглые, пирамидальные, кривые, заостренные, даже "с крючками". Так из них образуются тела, доступные нашему восприятию. Демокрит предложил продуманный вариант механистического объяснения мира: целое у него представляет собой сумму частей, а беспорядочное движение атомов, их случайные столкновения оказываются причиной всего сущего. Стремясь найти причину движения, Демокрит "раздробляет" единое бытие Парменида на множество отдельных "бытий" - атомов, которые трактует материалистически. Наглядная модель мироздания, теоретическая программа, выдвинувшая методологический принцип объяснения целого через составляющие его части. Мир делится на объективный (как он существует на самом деле) и субъективный (как мы его воспринимаем своими чувствами).