1.12. Проекция точки на плоскость или прямую

3. Подставляя эти выражения для х^ у и z в уравнение плоскости, находим значение параметра ^, при котором происходит пересечение прямой и плоскости:

3(3t + 1) - l{-t + 2) + 2{2t - 1) - 27 = О = > to = 2.

4. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = 2, получаем жо = 7, уо = О, ^о = 1.

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следо­ вательно, проекция точки Р на плоскость имеет координаты (7,0,1).

Ответ. Проекция Р' имеет координаты (7,0,1).

Ответы. 1.(2,3/2,2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3.(2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2). 6.(3/2,-1/2,0). 7.(1/2,-1,-1/2). 8.(1/2,-1/2,1/2). 9.(1/2,-1/2,1/2). 10.(1,1/2,0).

1.13.Симметрия относительно прямой или плоскости

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти координаты точки Q, симметрич­

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Искомая точка Q лежит на прямой, перпенди­ кулярной данной и пересекающей ее в точке Р'. Поскольку точка Р ' делит отрезок PQ пополам, координаты жд, уд и ZQ ТОЧКИ Q определяются из условий

еепроекции Р' на данную прямую.

1.Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р ' (см. задачу 1.12). Для этого:

а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер­ пендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора п этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой, т.е. п = а = {l^m^n}. Получаем

1{х - Хр) + т{у - УР) -f n{z - zp) = 0;

б) найдем координаты точки пересечения Р ' этой плоскости с за­ данной прямой. Для этого запишем уравнения прямой в параметри­ ческой форме

X = Н-\- жо, y = mt-\-yo, Z = nt-\- ZQ.

Подставляя x^y^z в уравнение плоскости и решая его относительно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересе­ чение прямой и плоскости;

в) найденное значение to подставляем в параметрические уравне­ ния прямой и получаем искомые координаты точки Р'.

2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан­ ной прямой, определяем из условий (1). Получаем

XQ = 2хр/ - Хр, yq = 2ур' - ур, ZQ = 22;р/ - zp.

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении коорди­ нат точки, симметричной данной, относительно плоскости.

ПРИМЕР. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2, -1,2) относительно прямой

X — 1 _ у __ Z -\-1

1 "^ О - 2 *

РЕШЕНИЕ.

1.Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р'. Для этого:

а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер­ пендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора п этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой: n = a = {1,0,-2}. Тогда

Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости, на­ ходим значение параметра t, при котором происходит пересечение прямой и плоскости: to = —1;

в) подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = —1, получаем

жр/ = О, г/р/ = О, zpr = 1.

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следова­ тельно, проекция точки Р на прямую есть Р'(0,0,1).

2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан­ ной прямой, определяются из условий (1):

XQ = 2хр' — Хр = —2,

VQ = 2ур/ - 2/р = 1,

ZQ = 2zpf — zp = 0.

Ответ. Точка Q имеет координаты (—2,1,0).

Условия ЗАДАЧ. Найти координаты точки, симметричной точ­ ке Р от^носителъно заданной прямой.

Ответы. 1.(4,-1,-1). 2.(2,-1,-1). 3.(1,2,-1). 4. (-1,4,-1). 5. (-1,2,-1). 6. (-1,1,2). 7. (-1,-1,4). 8. (-1,-1,2). 9.(2,-1,1). 10.(4,-2,-3).