- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
1.12. Проекция точки на плоскость или прямую |
31 |
1-12. Проекция точки на плоскость или прямую
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти координаты проекции Р' точки P{^PiУРЧzp) па плоскость Ах + By -\- Cz-\- D = О,
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Проекция Р' точки Р на плоскость является ос нованием перпендикуляра, опущенного из точки Р на эту плоскость.
1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р пер пендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляю щего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: а = п = = {А, В, С}. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид
х-хр |
у-ур |
Z- |
zp |
А |
В |
С |
' |
2. Находим координаты точки пересечения Р' этой прямой с за данной плоскостью (см. задачу 1.11). Положим
х-хр |
_ у-ур _ Z- Zp _ |
А |
~ В ~ С " |
Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид
X = At-\- хр, у = Bt-\-yp, Z =z Ct-\- Zp.
3.Подставляя x^y^z в уравнение плоскости и решая его относи тельно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересечение прямой и плоскости.
4.Найденное значение ^о подставляем в параметрические уравне ния прямой и получаем искомые координаты точки Р'.
ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении коорди нат проекции точки на прямую.
ПРИМЕР . Найти координаты проекции Р ' точки Р(1,2,—1) на плоскость Зж — 2/4-22: — 4 = 0.
РЕШЕНИЕ.
1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р пер пендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляю щего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: а = п =
32 |
Гл. 1. Ансиитическая геометрия |
|||
= {3, —1,2}. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид |
||||
|
х-1 |
_ у-2 _ z-hl |
||
|
3 |
"" - 1 |
2 |
' |
|
2. Найдем координаты ТОЧЮЙ пересечения Р' этой прямой с задан |
|||
ной плоскостью. Положим |
|
|
|
|
|
х-~1 __ у-2 __ Z + 1 _ |
|||
|
3 |
"" - 1 |
•" 2 |
"^ ' |
Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид |
||||
|
|
x^St |
+ 1, |
|
|
|
y = - t + 2, |
|
|
|
|
2 = 2t - 1. |
|
3. Подставляя эти выражения для х^ у и z в уравнение плоскости, находим значение параметра ^, при котором происходит пересечение прямой и плоскости:
3(3t + 1) - l{-t + 2) + 2{2t - 1) - 27 = О = > to = 2.
4. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = 2, получаем жо = 7, уо = О, ^о = 1.
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следо вательно, проекция точки Р на плоскость имеет координаты (7,0,1).
Ответ. Проекция Р' имеет координаты (7,0,1).
У с л о в ия ЗАДАЧ. Найти координаты |
проекции точки I^ на плос- |
||||
1. |
Р(1,0,1), |
4х + бу -f 4z - |
25 = 0. |
||
2. |
Р(-1,0,-1), |
2х + 6у'-2г-\-11 |
= 0. |
||
3. |
Р(2,1,0), |
2/-hz + 2 = 0. |
|
|
|
4. |
Р(0,2,1), |
2а: 4- 42/ - |
3 = 0. |
|
|
5. |
Р(-1,2,0), |
4 х - 5 2 / - г - 7 |
= 0. |
||
6. |
Р(2,-1,1), |
x-y-\-2z-2=^0. |
|
|
|
7. |
Р(1,1,1), |
ж-f-42/+ З2: 4-5 = 0. |
|||
8. |
Р(1,2,3), |
2х -h Юу + lOz - |
1 = 0. |
||
9. Р(0,-3,-2), |
2х -МО2/ -f- lOz - |
1 = 0. |
|||
10. Р(1,0,-1), |
2y + 4z-l |
= 0. |
|
Ответы. 1.(2,3/2,2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3.(2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2). 6.(3/2,-1/2,0). 7.(1/2,-1,-1/2). 8.(1/2,-1/2,1/2). 9.(1/2,-1/2,1/2). 10.(1,1/2,0).
1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости |
33 |
1.13.Симметрия относительно прямой или плоскости
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти координаты точки Q, симметрич
ной точке P{xp,yp,zp) |
относительно |
прямой |
X - хр _ у -уо _ Z - ZQ |
||
I |
т |
п |
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Искомая точка Q лежит на прямой, перпенди кулярной данной и пересекающей ее в точке Р'. Поскольку точка Р ' делит отрезок PQ пополам, координаты жд, уд и ZQ ТОЧКИ Q определяются из условий
^Р' |
= |
хрЛ-XQ |
yp + yq |
zp + ZQ |
(1) |
2 " ^ , УР' = |
2 ~ ^ . ^Р' = |
^ , |
|||
где xp,yp,zp |
— координаты точ1си Р и xp^^ypf^zp/ — координаты |
еепроекции Р' на данную прямую.
1.Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р ' (см. задачу 1.12). Для этого:
а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер пендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора п этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой, т.е. п = а = {l^m^n}. Получаем
1{х - Хр) + т{у - УР) -f n{z - zp) = 0;
б) найдем координаты точки пересечения Р ' этой плоскости с за данной прямой. Для этого запишем уравнения прямой в параметри ческой форме
X = Н-\- жо, y = mt-\-yo, Z = nt-\- ZQ.
Подставляя x^y^z в уравнение плоскости и решая его относительно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересе чение прямой и плоскости;
в) найденное значение to подставляем в параметрические уравне ния прямой и получаем искомые координаты точки Р'.
2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан ной прямой, определяем из условий (1). Получаем
XQ = 2хр/ - Хр, yq = 2ур' - ур, ZQ = 22;р/ - zp.
34 |
Гл. 1. Аналитическая геометрия |
ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении коорди нат точки, симметричной данной, относительно плоскости.
ПРИМЕР. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2, -1,2) относительно прямой
X — 1 _ у __ Z -\-1
1 "^ О - 2 *
РЕШЕНИЕ.
1.Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р'. Для этого:
а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер пендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора п этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой: n = a = {1,0,-2}. Тогда
1(а: - |
2) + 0(2/ + 1) - 2(z - 2) = О =Ф ж - 2z + 2 = 0; |
|
б) найдем |
точку пересечения |
заданной прямой и плоскости |
X — 2z + 2 = |
0. Для этого запишем уравнения прямой в парамет |
|
рической форме: |
|
|
|
x = t + |
l, |
|
z = -2t- |
1. |
Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости, на ходим значение параметра t, при котором происходит пересечение прямой и плоскости: to = —1;
в) подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = —1, получаем
жр/ = О, г/р/ = О, zpr = 1.
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следова тельно, проекция точки Р на прямую есть Р'(0,0,1).
2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан ной прямой, определяются из условий (1):
XQ = 2хр' — Хр = —2,
VQ = 2ур/ - 2/р = 1,
ZQ = 2zpf — zp = 0.
Ответ. Точка Q имеет координаты (—2,1,0).
1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости |
35 |
Условия ЗАДАЧ. Найти координаты точки, симметричной точ ке Р от^носителъно заданной прямой.
1. |
Р(0,-1,3), |
X — 1 |
_ |
2/ . |
Z |
|
||
|
|
1 |
|
- 1 |
" |
1 |
|
|
2. |
Р((2,1,-1), |
X — |
|
|
|
|
|
|
~2 |
|
|
0 |
|
- 1 * |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Р(-1,0,3), |
X |
_ 2/ + |
1 _ |
1 * |
|
||
|
|
0 |
' |
2 |
|
' |
|
|
4. |
Р(3,0,-1), |
X |
_ |
2 / - 1 . |
Z |
|
||
|
|
Т'' |
1 |
|
|
|
||
5. |
Р(-1,2,1), |
х + 1 __ у -2 |
_z |
|
||||
- 1 |
- |
|
~ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
6. |
Р(3,-1,0), |
X |
_У |
_ |
^ + |
1 |
|
|
I ~ |
0 |
~ |
2 |
|
||||
|
|
|
||||||
7. |
Р(-1,3,0), |
X |
_ |
2^ |
_ г - 1 |
|
||
|
|
т |
|
- 1 |
|
- 1 |
|
|
8. |
Р(1,-1,2), |
X |
_ |
2/ + |
1 _ |
Z - 2 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
- 2 |
' |
||
|
|
|
|
|
||||
9. |
Р(0,3,-1), |
X |
+ |
1 _ |
2/ |
Z |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
10.Р(0,2,1), |
X - 4 _ у_+ 1 _ 2^ - 2 |
|||||||
|
|
2 |
|
- |
1 |
3 - |
Ответы. 1.(4,-1,-1). 2.(2,-1,-1). 3.(1,2,-1). 4. (-1,4,-1). 5. (-1,2,-1). 6. (-1,1,2). 7. (-1,-1,4). 8. (-1,-1,2). 9.(2,-1,1). 10.(4,-2,-3).