- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
|
|
12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах |
289 |
||||||||
Ответы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
2/у |
|
|
|
4 |
|
V^ |
|
|
|
1- |
/ |
^2/ |
/ |
f{x,y)dx. |
2. |
|
dx |
f{x,y)dy. |
|
||
|
1 |
log2 У |
|
|
1 |
|
1/x |
|
|
||
|
3\/3 |
- 6 + \ / 3 6 - a : 2 |
|
0 |
|
З г - х ^ |
|
|
|||
3. |
|
dx |
|
/ |
f{x,y)dy. |
4. |
|
dx |
|
f{x,y)dy. |
|
|
|
|
- \ / 3 6 - x 2 |
|
—4 |
|
—4a; |
|
|
||
|
V^ |
V12 - 1/2 |
|
|
0 |
|
1+vT-x^ |
|
|||
5. |
M y |
|
/ |
f{x,y)dx. |
6. |
|
dx |
/ |
f{x,y)dy. |
|
|
|
0 |
|
j ; 2 / ^ |
|
|
- 1 |
|
y z : ^ |
|
|
|
|
|
1 |
2 - y |
|
|
1 |
|
1-x^ |
|
|
|
7. |
/ |
^2/ |
/ |
f{x,y)dx. |
8. |
/ |
dx |
/ |
f{x,y)dy. |
|
|
|
0 |
|
2/2 |
|
|
|
0 |
|
- v / r r ^ |
|
|
|
|
e |
e/x |
|
|
|
0 |
^ |
|
|
|
9. |
|
dx |
|
f{x,y)dy. |
10. |
/ |
^2/ |
/ |
f{x,y)dx. |
|
|
|
1 |
Inx |
|
|
|
- 1 |
|
- 2 - y |
|
|
12.2.Двойной интеграл в декартовых координатах
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить двойной интеграл
/ / f{x,y)dxdy,
D
где область D ограничена линиями /i(x,t/) = О, f2{x^y) = О (г/, воз- мооюно, прямыми X = а и х = b или у = с и у = d).
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Зададим область D неравенствами. Для этого выясним, каким из неравенств
fi{x,y)<0, |
/i(x,2/)>0, /2(х,2/)<0 или |
f2{x,y)>0 |
удовлетворяют координаты точек области D.
290 Гл. 12. Кратные интегралы
Пусть, например, такими неравенствами оказались fi{x,y) < О и f2{x,y)<0. Тогда
Решаем неравенства, определяющие D, относительно хиу. Получаем
D=\^{x,y): y^^^)llly^^^) I
или
2. Переходим от двойного интеграла к повторному:
|
|
6 |
У2(х) |
/ / |
f{x,y)dxdy= |
dx |
f{x,y)dy |
D |
|
a |
yi{x) |
или |
|
d |
X2{y) |
|
|
||
/ / |
f{x,y)dxdy= |
dy |
f[x,y)dx. |
D |
|
с |
X I Ы |
3. Последовательно интегрируем, используя свойства определен ного интеграла.
Записываем ответ.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если необходимо, разбиваем облгьсть на части и ис пользуем свойство аддитивности интеграла.
ПРИМЕР. Вычислить двойной интеграл
/ / <
D |
|
|
где область D ограничена линиями х = \^у=^х^иу= |
—^/x. |
|
РЕШЕНИЕ. |
|
|
1. Зададим область D неравенствами. Очевидно, что —^ |
< х^. |
|
Поэтому —у/х < у < х^. Поскольку X фигурирует под знаком квад |
||
ратного корня, X > 0. Для X возможны неравенства О < х < |
1 или |
1 < X. Во втором случае область неограничена, что неприемлемо.
12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах |
291 |
||
Итак, |
|
|
|
D=< (х,2/): |
О |
|
|
-у/х |
|
|
|
|
|
|
|
2. Переходим от двойного интеграла к повторному: |
|
||
|
1 |
х^ |
|
[[{БАх'^у^ + ISOx'^t/^) dxdy= f dx |
f (54x^2/2 + ISOx^y'*) dy. |
|
|
|
0 |
- v ^ |
|
3. Используя свойства определенного интеграла, последовательно интегрируем сначала по у (считая х постоянной), затем по х:
1 |
X" |
|
|
|
|
f dx |
[ |
{БАх^у^ + 150x^2/^) dy = |
|||
о |
- v^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
^3 |
х^ |
|
|
|
/* 54^2 |
/ y^dy |
+ 150ж^ / 2/^ dy dx = |
|
|
|
— у/х |
—у/х |
|
|
|
-I |
ЬАх |
\—\/х |
\—y/xj |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
f[18x^^ |
+ 18x^/2 + 30a;^^ + ЗОж^^/^] dx = 11. |
|
|
|
о |
|
|
Ответ. |
[[{Ых'^у^ 4- 150x^2/^) dxdt/ = 11. |
||||
Условия ЗАДАЧ. Вычислить |
двойные интегралы по областям J9, |
||||
ограниченным |
заданными |
линиями. |
D
2. I j {х — y)dxdy^ |
у = 2 - х'^у у = 2х-1. |
292 |
Гл. 12. Кратные интегралы |
||||||
3. |
{ylnx)dxdy, |
|
у = - , |
У = Vx, х = 2. |
|||
|
D |
|
|
|
|
|
|
4. |
{cos2x + sin у) dxdy, |
t/= --— ж, |
у = 0^ х = 0. |
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
5. |
sm{x-\-у) dxdy, |
у = х, |
2/ = |
-^, |
ж = 0. |
||
6. |
—dxdy, |
у = -',у |
= х,х |
= 2. |
|
||
|
D |
|
|
|
|
|
|
7. |
{х'^ -{-y)dxdy, |
|
у = х^, |
У = |
у/х. |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
8. |
{2х — y)dxdy, |
|
у = х^, |
У = х, |
х = 1, х = 2. |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. x^y^^/l^-x^^-y^dxdy, |
|
? / = \ / l |
—х^, |
2/= О, |
х = 0. |
|||||||
|
Ответы. 1. |
/ = 1/10. |
2. |
J |
= |
64/15. |
|
3. |
/ |
= 5(21п2 - 1)/8. |
|||
4. |
/ |
= |
(тг + 1 - |
2л/2)/4. |
5. / |
= |
1. |
6. / |
= |
9/4. |
7. |
7 = 33/140. |
|
8. |
/ |
= |
9/10. 9 . 7 = 7г/б. |
10. 7 |
= 4/135. |
|
|
|
|
|
|||
12•З. Двойной интеграл |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
в полярных |
координатах |
|
|
|
||||||
|
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить двойной |
интеграл |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
/ / |
f{x,y)dxdy, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
где область D ограничена двумя окруэюностлми
У^ 4- сцу 4- bix + х^ = О, |
2/^ + а2У -f 62Х -f х^ = О |
12.3. Двойной |
интеграл |
в полярных координатах |
293 |
|
(ai = 0 , а2 = О, |
6162 > О |
или |
6i = 0 , 62 = О? <^ict2 > |
0) |
и двумя прямыми
тпгу 4- kix = О, (ш^ -\- kl ф 0), т22/ + А^г^: = О, {ml -\-к\ф 0).
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.Зададим область D неравенствами в декартовой системе коор динат.
Для этого заметим, что окружности у"^ + аху -\- bix -\- х^ = О и у^ -f 022/ + ^23: + ж^ = 0 проходят через начало координат и их центры расположены на оси ОХ (при ai = О, а2 = 0) или на оси 0Y (при bi = О, 62 = 0) по одну сторону от начала координат (так как 61^2 > О или aia2 > 0). Поэтому та из окружностей, которая имеет меньший радиус, расположена внутри другой. Пусть, например, это окруж ность 2/^ Н- ^12/ + bix + х^ = 0 . Область D находится между окружнос тями, поэтому координаты точек области D удовлетворяют неравен ствам
У^ -h aiy + bix + ж^ > О, 2/^ + а2У + Ь2Х + ж^ < 0.
Прямые miy + kix = О и т2у + к2Х = О проходят через начало координат. Область D расположена между ними. Учитывая, в ка кой полуплоскости находятся окружности и, следовательно, область D, определяем, каким из следующих пар неравенств удовлетворяют координаты точек области D:
чт^гУ + |
kix |
> О, |
77122/ + ^2Х > О, |
||
ТП1У + |
kix |
< О, |
77122/ + |
^2Х > о, |
|
^12/ "Ь ^1^^ ^ |
О? |
^22/ + |
^2^ < О, |
||
^12/ + ^ 1 ^ |
^ |
О? |
^^22/ + |
^2^^ ^ 0. |
2. Так как область D ограничена окружностями и прямыми, про ходящими через начало координат, поставленную задачу проще ре шать в полярных координатах
( |
X = Q cos (/?, |
\ |
у = gsiiKf. |
При этом (^, if) е D\ г. искомый интеграл определяется формулой
/ / f{x,y)dxdy= |
/ / f {д cos (р,д sin (f)gdg dip. |
294 |
Гл. 12. Кратные интегралы |
3.Чтобы найти область £)', заменяем в неравенствах, опреде ляющих область D, X на gcosf и t/ на gsiinp. Затем разрешаем полученные неравенства относительно ди ^р. Таким обргизом получим
4.Переходим от двойного интеграла к повторному:
S = |
d(p / f {д cos (f у д sin (f) gdg |
И последовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла.
Записываем ответ.
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ двойной интеграл
II-X dx dy^
D
где область D ограничена линиями
2/^ - 4г/ + а;2 = О, у^ - Зт/ + х^ = О, у = x/Vs, |
х = 0. |
РЕШЕНИЕ.
1. Зададим область D неравенствами в декартовой системе коор динат. Для этого заметим, что, выделяя полные квадраты в урав нениях окружностей 2/^ — 4^/ + ж^ = О и у^ — Sy -\- х^ = О, их можно привести к виду
( у - 2 ) 2 + 0:2 = 4, |
(1) |
{у - 4)2 +х^ = 16. |
(2) |
Очевидно, что обе окружности проходят через начало координат и их центры расположены на оси 0Y в точках (0,2) и (0,4). Ок ружность (1) имеет радиус 2 и, следовательно, лежит внутри окруж ности (2), имеющей радиус 4. Поскольку область D находится между окружностями, координаты ее точек удовлетворяют неравенствам
{у ~ 2)2 + ^2 > 4, (у - 4)2 + х2 < 16.
12.3. Двойной интеграл в полярных координатах |
295 |
Прямые у = х/у/З и а: = О проходят через начало координат. Об ласть D расположена между ними. Учитывая, что окружности, а следовательно, и область D находятся в верхней полуплоскости, за ключаем, что область D находится над прямой у = х/у/З и справа от прямой X = 0. Поэтому координаты точек области D удовлетворяют неравенствам
у > ж/\/3, ж > 0.
Итак,
( 2 / - 2 ) 2 + х 2 > 4 ,
D= < (х,2/): (2/- 4)2+0:2 < 16,
у > х/\/3, X > О
2. Так как область D ограничена окружностями и прямыми, про ходящими через начало координат, поставленную задачу проще ре шать в полярных координатах
X = д cos v?,
I уУ==Qsinip.
При этом (^, (^) G JD', а искомый интеграл определяется формулой
xdxdy= |
gcosip gdQd(f. |
DD'
3.Чтобы найти область D', заменяем в неравенствах, определяю-
пщх область D, х на дcos if и t/ на gsiiup:
[ {gshiip - |
2)^ + д^ cos^ </? |
> 4, |
|
{д sin V? - |
4)2 + д^ cos^ if |
< 16, |
|
^ |
gcosip |
|
^ ^ |
gsm(p>—j=r—^ |
gcos(p>0. |
||
|
v 3 |
|
|
Решая эти неравенства относительно ^ и (^, получаем
7г/6 < (^ < 7г/2, D'={ (^,^): 4 sin (^ < ^ < 8 sin (/?
296 |
|
|
|
|
Гл. 12. Кратные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. Переходим от двойного интеграла к повторному: |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7г/2 |
|
8sinv? |
|
|
|||
|
|
xdxdy= |
|
/ / |
д cos (f д dg dip = / |
cos ip dip |
/ |
|
g^ dg. |
|
||||||||
|
D |
|
|
D' |
|
|
|
|
|
7г/6 |
|
4s\inp |
|
|
|
|
||
Последовательно интегрируя, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7г/2 |
|
8sin<^ |
|
|
7г/2 |
|
|
|
|
Ssinv? |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/ COS (pdcp |
/ |
g^ dg = |
с |
|
|
|
4 sin (p |
|
|
|
|
|
|
|||||
7г/6 |
|
4sinv? |
|
7г/6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
7Г/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7г/2 |
|
|
|
|
|
|
|
448 |
/• . |
|
3 |
|
|
, |
112 |
. 4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(^ |
|
35. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
-— |
/ sm |
|
(/? cos ipdip = -— |
sm |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
о |
J |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
7г/6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
т/6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
|
xdxdy |
= S5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия |
ЗАДАЧ. |
Вычислить |
|
двойные |
интегралы |
по |
областям |
|||||||||||
D, ограниченным |
заданными |
линиями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
Ilydxdy, |
|
у^-2г/ + ж^=0, |
2/ |
- 4?/+ ж^ = О, |
|
X |
|||||||||||
|
2/=-7^, |
|||||||||||||||||
' |
!!'• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/ = \/Зж. |
|
2. |
|
xdxdy, |
|
2/^ —б2/+а:^=0, |
у^-^у+ж^ = О, |
2/= ж, |
х = 0. |
|||||||||||
3. |
П |
—^=S==dxdy, |
|
2/ -42/+2:'= |
О, 2/ -Sy+a;" = О, |
2/= а:, |
||||||||||||
|
|
У^^Ту" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
[[ —=L==dxdy, |
2/^-42/^-ж^=0, |
2/^ - |
|
62/+ ж^ = О, |
|||||||||||||
|
7 У |
лУх^-\-у^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/ = ж, |
X = 0. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
// // |
.^ |
" ^ dxrfy, |
|
2/^ - |
6у Н- х^ = О, |
у2 - |
102/ + х^ = О, |
2/ = X, X = 0.