- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
Г л а ва 4 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
При изучении темы ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ вы познакомитесь на примерах с понятиями производной и дифференциала функции од ной переменной, научитесь вычислять производные, используя пра вила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции, научитесь дифференцировать функции, заданные парамет рически, вычислять производные высших порядков, а также приме нять производные и дифференциалы в приближенных вычислениях и при решении геометрических задач.
С помош;ью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить преде лы, выполнить численные расчеты, а также вычислить производные любого порядка и проверить правильность полученных вами резуль татов.
4.1. Понятие производной
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исходя из определения^ найти производ ную функции f{x) в точке х = 0.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. По определению
•^ ^ ^ х->0 |
X |
(Напомним, что при вычислении предела ж —> О, но ж т^ 0.)
2. Вычисляем предел
х-¥0 X
3. Если предел существует и равен А, то/'(0) = Л, если предел не
существует, то /'(0) не существует.
98 |
Гл. 4. Дифференцирование |
ПРИМЕР. ИСХОДЯ ИЗ определения, найти производную функции
т |
1 — cos ( ж sin — ), X ^ О, |
||
|
|||
|
О, |
|
х = 0, |
в точке X = 0. |
|
|
|
РЕШЕНИЕ. |
|
|
|
1. По определению |
|
|
|
/'(0) . Иш М |
^ Л |
= и т |
l - c o s ( x s i n ( l / . ) ) - 0 |
х->0 |
X |
ж->0 |
X |
2. Так как sm(l/a;) — ограниченная, а ж — бесконечно малая функ ции при ж —)" О, то по теореме о произведении бесконечно малой функ ции на ограниченную a:sin(l/x) —> О при ж —> 0. Заменяя в числителе бесконечно малую функцию эквивалентной и снова используя упомя нутую теорему, получаем
lim |
1 - |
cosfx |
sin(l/x)) - |
О ,. |
х^ sin^(l/a:) |
|
^ |
)U.-JJ |
lim |
^—L^ = О . |
|
ж->0 |
|
|
X |
х-^0 |
2х |
3. Таким образом, предел существует и равен нулю. Следова тельно, /'(0) = 0.
Ответ. f{0)=0.
Условия ЗАДАЧ. Найти производную функции f{x) в точке х = 0.
1. |
fix) |
= |
sin I ж^ + ж^ sin - |
j , |
ж 7^ О, |
|
О, |
ж = 0. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
2. |
fix) |
|
tg |
( ж^ cos — ) + 2ж, |
ж 7^ О |
|
|
о, |
ж = 0. |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
3. |
/(ж) |
= |
arcsin I ж cos — |
) , х ^ О, |
||
|
|
|
|
О, ж = 0.
|
|
|
4.2. Вычисление производных |
99 |
|||||
4. |
f{x) |
= |
In I 1 - |
tg ( ж^ sin - |
) ) , |
x^O, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0, |
ж = 0. |
|
|
|
|
|
5. |
fix) |
== |
tg |
ж sin — , |
ж 7^ 0, |
|
|
||
0, |
Vx = 0.^ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
fix) |
- |
Wl + lnf 1 + ж2 s i n - ) - 1 , |
x^O, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0, |
ж = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ('e^' ^^"(^/^) - |
i V |
X 7^ 0, |
|
|||
|
|
|
0, |
x = |
0. |
|
|
|
|
8. |
fix) |
= |
x^ |
cos |
h Зж, |
ж 7^ 0, |
|
|
|
О, |
Зж |
|
|
|
|
||||
|
|
|
а: == 0. |
|
|
|
|
||
9. |
fix) |
= |
arctg I ж — х^ sin — ) , |
х 7^ О, |
|||||
О, |
а; = |
0. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. |
/(x) = |
sin X cos —h 2ж, ж 7^ О, |
|
|
|||||
О, |
а; = |
0. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Ответы. 1. 0. 2. 2. 3. Не существует. 4. 0. 5. Не существует.
6.0. 7. 0. 8. 3. 9. 1. 10. 2.
4.2.Вычисление производных
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную функции y = fix).
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Задача решается в несколько этапов. На каждом этапе необходимо распознать тип функции и применить соответству ющее правило дифференцирования.
Возможны следующие типы функций.
• Функция имеет вид Сгщ -h C2U2 + ... + CnUn^ где ui(x), 7x2(2:), . • •, Unix) — некоторые функции и Ci, Сг,..., Сп — некоторые
100 |
Гл. 4. Дифференцирование |
постоянные. Используем формулу производной линейной комбинации
{CiUi + C2U2 -f . . . + CnUnY = Ciu[ + C2U2 + . . . + CnU'^^
• функция имеет вид и - v. Используем формулу производной произведения
(и- v)' = и' ' V -\-U' v'.
и
• функция имеет вид —. Используем формулу производной част-
ного: |
V |
|
|
/ г/ \ ' |
и' • V ~ и ' v' |
||
|
• Функция имеет вид и(у(х)). Используем формулу производной сложной функции
u{v{x))' — u'{v) • v'{x).
• функция имеет вид и{хУ^^\ Производная такой функции вы числяется с помощью формулы
Переход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каж дым знаком производной не окажется табличная функция.
ПРИМЕР. Найти производную функции
Зх^ -h 4х^ - х2 - 2
У = |
15\/1 + ж2 |
|
РЕШЕНИЕ.
1.Функция у{х) имеет вид
15 V
где и{х) = Зх^ -f- 4х^ — х^ — 2 и v{x) = у/1 Ч- ж^ . Используя формулу для производной частного, получаем
У
1 {Зх^ + Ах^ -х^- |
2У УТТ^ - {Зх^ -Ь Ах^ -х^-2) |
{УТТ^)' |
15 |
( \ / i T ^ ) 2 |
|
4.2. Вычисление производных |
101 |
2. Функция и{х) = Зх^ + 4а;'^ — ж^ — 2 является линейной комбина цией табличных функций. Поэтому
(Зж^ + 4х^ - х2 - 2)' = 18х^ + 1бх^ - 2х.
3. Функция v{x) = \/1 + ж^ имеет вид
г;(а:) = ui(i;i(a;)),
где Til = \ / ^ и z;i(x) = 1 + ж^. Используя формулу для производной сложной функции, получаем
|
v\x) |
= ( v ^ ) ' (1 + х^У = - i = |
2^ = |
2\/1 + ж2 ' |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2,/щ |
|
|
|
|
|
|||||
Ответ, |
у' = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, (18а;^ + |
16х^ - |
|
|
^ |
- |
(Зх^ + 4а;^ - |
а;^ - |
2) |
— |
2х |
= |
||||||
_ |
|
2х) VTTx^ |
= |
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2У/ТТХ' |
2 |
|||
|
15 |
|
|
|
|
|
|
1 + ^2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия ЗАДАЧ. Найти производные заданных |
функций. |
|
|
|||||||||||||||
1. |
у = 2^^^. |
2. |
у = \п{х + ^/TTx^). |
|
3. |
?/ = |
ln2(l - cosx) . |
|||||||||||
4. |
, . |
. |
|
|
5. |
y = |
3^ (sin X + cos X In 3) |
^ |
|
|
sh2a: |
|||||||
?/= m(arcsin\/^). |
|
|
^ |
|
|
• |
|
6. y = —^—. |
||||||||||
|
|
^ |
|
^ |
|
|
^ |
|
1Ч-1п2з |
|
|
|
|
|
ch22x |
|||
7. |
у = arcsin -7= . |
|
|
8. |
у = a r c t g 3 ^ . |
9. |
у = ln(l + |
Vthx). |
||||||||||
|
|
|
y/x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. 2/ = lnsin3 —cos^x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
smx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответы. 1. 2v^^ , |
|
|
! " V • |
2. ^ = L = . |
|
3. ^^^"^^(1 - |
cosx) |
|||||||||||
|
|
|
2cos^xVtga; |
|
v 1 + a:^ |
|
|
|
|
l - c o s x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
2ch22x-4sh^2x |
|
^ |
|
1 |
|||||
2\/х - ж2 |
arcsin v ^ ' |
5. 3'^cosa;. |
6. |
|
r^- |
|
|
|
. |
7. |
2ж Vx - 1" |
|||||||
|
|
' |
' |
' |
|
ch^ 2ж |
|
|
' |
' |
||||||||
|
3v^ln2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
cosa;(l-f |
sin^x) |
|||||
• (l + 32V^)2v^' |
y. |
|
"~ |
|
/ |
^ |
о • |
|
J-U. |
|
sin^x |
|
||||||
|
* 2(thx + \/thx)ch2x' |
|
|
* |
|
|