- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
|
|
|
10.7. Признак Лейбница |
227 |
||||
Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов. |
||||||||
1 |
ОО |
- |
|
|
2 |
ОО |
^ |
|
V |
= |
|
|
V |
= |
|||
|
;^^(2n + 3)ln(2n)- |
|
• |
|
^^(п+1)\п^п |
|||
3- |
С О |
|
^ |
|
4. |
ОО |
^ |
-. |
у |
|
] |
|
У-^ |
||||
|
;^1 (Зп - 2)Vln(2n + l) |
|
^^ |
пЫ^{п |
+ 1) |
|||
|
СХ) |
- |
|
|
|
ОО |
|
- |
|
„ ^ 2 ( 2 n + l ) V b^ |
|
|
;S2n^ln3(3n+l) |
||||
|
ОО |
- |
|
|
|
ОО |
|
|
7 |
У^ |
^ |
|
|
8 |
V |
|
" 2 _ • |
|
|
.2 |
|
|
|
|
|
|
|
^ ( г г З |
+ 2)1п2п* |
|
|
* ^ ( п 4 - 2 ) 1 п п * |
|||
|
Ответы. |
1. Ряд расходится. |
2. Ряд сходится. |
3. Ряд расходится. |
||||
4. Ряд сходится. |
5. Ряд |
расходится. |
6. Ряд |
сходится. 7. Ряд |
||||
расходится. |
8. Ряд сходится. |
9. Ряд сходится. |
10. Ряд расходится. |
|||||
10.7. Признак Лейбница |
|
|
||||||
|
ПОСТАНОВКА |
ЗАДАЧИ. |
Исследоват^ь сходимость знакочередую |
|||||
щегося ряда |
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п =1
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.Проверяем, что limn->oo ^п = О (если Ит^-^оо «п ^ О, то ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости ряда).
2.Исследуем сходимость ряда, составленного из модз^лей,
ОО
п=1
используя теоремы сравнения и признаки сходимости для рядов с по ложительными членами.
228 Гл.10. Ряды
Если ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсо лютно.
3. Если ряд из модулей расходится, то остается еще возможность того, что исходный ряд сходится условно.
Чтобы исследовать эту возможность, применяем признак Лейб ница.
Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и ст^ремятся к нулю при п —> оо, то ряд сходится {по крайней мере, условно).
В данном случае, если условия признака Лейбница выполнены, то исходный ряд сходится условно (так как уже выяснено, что абсолют но он не сходится).
П Р И М Е Р . Исследовать сходимость ряда
п=1 ^ ^
РЕШЕНИЕ.
1. Проверим выполнение необходимого условия сходимости:
lim (-l)'^f l - c o s - i = : ) = 0 .
n->oo |
у |
V ^ / |
2. Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей:
|
|
1 |
|
|
Vn |
COS—р: |
|
п=1 ' |
n = l |
||
|
|||
Так как при п —>• оо |
1 |
1 |
|
|
COS "7= - — ,
то по второй (предельной) теореме сравнения ряд из модулей расхо дится.
3. Проверяем условия признака Лейбница:
а) ряд знакочередующийся с an = 1 — cos —7= ;
\/п
б) члены ряда убывают по абсолютной величине:
1 — cos . |
< 1 — cos -7= Vn > 1; |
V n + 1 |
yjn |
10.8. Приближенное вычисление суммы ряда |
229 |
в) члены ряда стремятся к нулю при п -> оо (см. п. 1). Следовательно, по признаку Лейбница исходный ряд сходится.
Ответ. Ряд У^ (—1)"^ ( 1 — cos -7= ) сходится условно.
Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.
|
п=1 |
n(n + 2) • |
|
|
п=1 |
|
|
^ |
^ |
|
|
||
3 |
|
п2 + 1 |
|
4 |
y - ( _ nnSin(n^v^) |
|
y ^ ( _ i ) " - _ ^ : ± L = |
||||||
|
|
л/п"5 + |
Zn^+'i |
|
|
|
|
|
2 п 2 - 1 |
|
|
|
|
|
|
ЗпЗ |
• |
|
|
|
|
|
+if |
п |
у' |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
9- |
Е<-1)"^'"'|г- |
|
И- |
Е созтгп |
||
|
п =1 |
|
|
|
|
п=1 ^ |
Ответы. 1. Ряд сходится условно. 2. Ряд сходится абсолютно. 3. Ряд сходится условно. 4. Ряд сходится абсолютно. 5. Ряд схо дится условно. 6. Ряд сходится условно. 7. Ряд сходится абсолютно. 8. Ряд расходится. 9. Ряд сходится абсолютно. 10. Ряд сходится условно.
10.8.Приближенное вычисление суммы ряда
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить сумму знакочередующегося числового ряда
ОО
п=1
с заданной точност^ъю а.
230 |
Гл. 10. Ряды |
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.Если a^+i < о^п и lim^_^oo <^п = О? то А,ЛЯ остатка ряда Rn справедливо неравенство
\Rn\ £ «n+l-
2. Если a^+i < а, то и \Rn\ < а. Поэтому, решая неравенство
ttn+i < а,
находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вы числения суммы ряда с заданной точностью а.
3. Непосредственно вычисляем п-ю частичную сумму и записыва ем ответ:
5 « 5п = ai - а2 + ... 4- (-1)""^ап.
ПРИМЕР . ВЫЧИСЛИТЬ сумму ряда
оо
П = 1 |
^ |
' |
С ТОЧНОСТЬЮ а = о, 0 0 1 . |
|
|
РЕШЕНИЕ. |
|
, |
1. Данный ряд знакочередующийся и сходяш;ийся (абсолютно). Члены ряда убывают по абсолютной величине:
п + 1 |
-г. |
п |
W ^ . |
< |
ТТТ7 |
Vn > 1. |
|
(1 + (п + 1)3)2 - |
( Ц - п З ) 2 |
|
Следовательно,справедливо неравенство
гг + 1
\^п\ £ ^n+l — (1 + (71+1)3)2-
2. Если ttn+i < а, то и \Rn\ < ос- Поэтому, решая неравенство
n-f 1 |
1 |
(l + (n +1)3)2 < |
1000' |
находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вы числения суммы ряда с заданной точностью а. Получаем п > 3, т.е. достаточно взять первые три члена ряда.