- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
Глава 3 ПРЕДЕЛЫ
При изучении темы ПРЕДЕЛЫ вы познакомитесь на примерах с понятиями предела последовательности, предела и непрерывности функции в точке, научитесь вычислять различные пределы, исполь зуя теоремы о пределах, эквивалентные бесконечно малые и специ альные приемы.
С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете решить неравен ства, выполнить численные расчеты и проверить правильность полу ченных вами результатов.
3.1. Понятие предела последовательности
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Пользуясь определением предела последо вательности, доказать, что
lim а-п = а.
п—>оо
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. По определению число а называется пределом числовой последов ательносппи {ttn}, если
Уб: > О 3N{£) : п > N{e) => \ап - а\ < е.
Это означает, что We > О неравенство |ап — а| < е имеет решение
п> N{€).
2.Найдем, при каких п справедливо неравенство
\ап - а\ < €,
т.е. решим это неравенство относительно п.
3. Если решение имеет вид п > N{e), то а — предел числовой последовательности {an}-
72 Гл. 3. Пределы
ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ решение неравенства la^ — а| < s нельзя пред
ставить в виде п > N{e), |
то число а не является пределом последова |
||||||||||||
тельности |
{an}- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРИМЕР. Пользуясь |
определением |
предела |
последовательности, |
||||||||||
доказать, что |
|
|
|
2п^ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
lim |
|
= 2. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
РЕШЕНИЕ. |
|
п—Уоо п^ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. По определению число 2 называется пределом числовой после |
|||||||||||||
|
|
|
Г 2п^ ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
довательности I n 3 - 2 J ' |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ve > О 3N{€) |
: п > |
N{e) |
|
|
2n3 |
< |
€. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Найдем, при каких п справедливо неравенство |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2п^ |
|
- 2 |
|
<е, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п З - 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т.е. решим это неравенство относительно п. |
|
|
|
||||||||||
3. Неравенство имеет решение n>N{e) |
= ^4/б: + 2. Следователь- |
||||||||||||
но, 2 — предел числовой последовательности |
< - ^ — - >. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ п*^ - 2 J |
||
Ответ, |
|
п > У^/е |
-f 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Условия ЗАДАЧ. Пользуясь |
определением |
предела |
последователь |
||||||||||
ности, |
доказать, что limn_).oo сьп = сь. |
|
|
|
|
||||||||
1. |
an = |
2 п - 2 |
|
2 |
|
ttn |
|
= |
4 n - 2 |
a = |
2. |
||
3 n - l ' |
" = 3 - |
|
|
2n + |
3' |
||||||||
3. |
а„ |
= |
3n + 2 |
|
3 |
4. ttr, |
|
= |
5n-f-2 |
|
5 |
||
2 n + l ' |
|
|
|
3 n + l ' |
" = 3 - |
||||||||
|
|
|
5n + 2 |
a = 5. |
|
|
|
|
4п2-Ы |
a = 4. |
|||
|
|
|
n + 1 ' |
|
dn = п2 + 2 |
||||||||
7. |
an |
= |
3 - n 3 |
a = |
- 1 . |
|
CLn |
|
= |
6 n - 2 |
a = 3. |
||
1 + пЗ' |
|
|
2 n + l ' |
||||||||||
9. |
an = |
3 + 8n2 |
a = 2. |
10. an |
|
= |
3n |
|
a = 3. |
||||
1 + 4n2' |
|
n - h l ' |
3.2. Вычисление limn-^oo[Pk{n)/Qm{n)] |
73 |
Ответы. |
1. п > |
Зе + 4 |
. |
^ |
8 - 3 £ |
|
— |
2. п > —-—. |
|
||||
|
|
9е |
|
|
2€ |
|
1 - 3 5 |
, |
3-е |
|
^ |
7-2б |
|
96 |
|
е |
|
V £ |
|
|
5 - 5 |
^ |
/ 1 - 5 |
_ |
3 - 5 |
. |
|
8. п > — — . |
9. n > W — — . |
10. п > |
5 |
|||
25 |
|
V 45 |
|
|
^ |
1 - 2 £ |
|
3. п > |
—:ie |
. |
^3 / 4 - 5
3.2. Вычисление limn-^oolPk{^)/Qm{^)]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел
уРк{п)
где
Рк{п) — акП^ + ак-\п^~^ + ... |
+ сцп + ао, |
Qm(n) = Ь^п^ -f 6^_in^-^ + ... + 6in + 6о.
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Здесь Рк{п) — многочлен степени к (бесконечно большая последовательность порядка п^) и Qmip) — многочлен сте
пени т (бесконечно большая последовательность порядка |
п^). |
1. Вынесем в числителе множитель п^^ получим Pfc(n) |
= п^р{п)^ |
где р{п) = ak + ak-i/n + ... + ао/п^. |
|
2. Вынесем в знаменателе множитель п^, получим Qm{4^)=^4^^Q{i^)^
где q{n) = bm-\- bm-i/n |
+ |
... -f |
bo/n"^. |
|
|
||||
3. Имеем |
|
|
Pk{n) |
|
|
n^pjn) |
|
||
|
|
lim |
, = |
lim |
|
||||
|
|
- |
, |
7-T-. |
|
||||
|
|
n-)-oo Qm\4^J |
|
n->oo |
n^q(n) |
|
|||
4. Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
к > m^ |
то |
lim |
|
--—7—г = oo; |
|
|
||
|
|
^-^°^ |
Qm{n) |
|
|
|
|||
если |
к < m^ |
то |
lim |
|
Pk(n) |
|
|
|
|
——т-т- = 0; |
|
|
|||||||
|
|
n-^oo |
|
Qm{n) |
|
|
|
||
если |
к = гПу то по теореме о пределе частного |
|
|||||||
|
|
РА:(П) |
^ |
|
|
р(п) |
^ limn->oop(n) |
^ ак_ |
|
|
^-^°° |
Qrn{n) |
|
п^оо |
g(n) |
limn-^00 q{ri) |
bm ' |
74 |
Гл. 3. Пределы |
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ предел
^.^(2п + 1 ) ^ - ( п + 1)^
п-^оо П? -{- П -\- 1
РЕШЕНИЕ. Здесь (2п + 1)^ - (п + 1)^ =? Зп^ + 2п — многочлен вто рой степени (бесконечно большая последовательность порядка п^) и п^ -\- п -{- 1 — многочлен второй степени (бесконечно большая после довательность порядка и?).
1. Вынесем в числителе множитель гг^, получим
(2n-f 1)^-(гг + 1)2 = п2 ( З - Ь -
2. Вынесем в знаменателе множитель п^, получим
. 2 I _ , 1 2
3. Имеем |
|
|
|
|
|
|
^. |
(2п + 1)2-(п4-1)2 |
,. |
п2(3 + 2/гг) |
|||
lim |
-^^ |
г^^ |
^ |
— = |
lim |
|
|
|
п^ + п + 1 |
|
п-^сх) 71^(1 + 1/гг 4-l/n^) |
4. Сокраш;ая n^ и используя теорему о пределе частного, получаем
|
j . ^ |
(2п + 1)^ - (п + 1)^ ^ |
limn^oo(3 + 2/n) |
^ g |
|||
Ответ, |
lim |
г^^ |
-— |
— = 3. |
|
||
|
|
п->оо |
71^ -f |
П 4- 1 |
|
|
|
Условия ЗАДАЧ. Вычислить |
пределы. |
|
|||||
1 |
и ^ |
( 5 - п ) ^ + (5 + п)^ |
|
( 4 - п ) 3 - ( 2 - п ) 3 |
|||
• n ^ o o ( 5 - n ) 2 - ( 5 + |
n)2- |
• |
„ ^ o o ( l - n ) 2 - ( 2 + |
n)4' |
|||
|
|
(3 - n)3 - (2 - n)3 |
|
( 2 - n ) 2 - ( l + n)2 |
|||
|
„^}^ |
(3 + n ) 2 - ( 2 + n)2 |
|
(n + 2 ) 3 - ( n + 2)2 |
|||
^- |
(2 + n)2 - |
(1 - |
n)2 • |
|
n - ^ (n - 2)3 - (n + 2)3' |
|
|
|
3.3. Вычисление Итпп-^оо [/(^)/р(^)] |
75 |
||||
^ |
^. |
(14-3n)3 - 27пЗ |
^ |
^. |
(3-2гг)2 |
|||
7. |
lim -^^7 |
-^—--^. |
8. |
lim |
^ |
^ |
||
|
п->оо |
(1 + |
4п)2 + 2п2 ' |
' |
п-^оо (п - |
3)2 - |
(П + 3)^ * |
|
|
|
|
(2 + |
п)2 |
|
(п + 2 ) ^ - ( п + 5)2 |
||
^- ,^™о(^ + 2 ) 2 - ( п + 1)3- |
'^- |
п^"^ |
( З - п ) з |
|||||
Ответы. |
1. - 0 0 . |
2.0. 3.0. |
4. - 1 . 5.1/3. |
6. - оо. 7.9. 8. - 2 / 9 . |
||||
9. - |
1. 10. 1. |
|
|
|
|
|
|
3-3. Вычисление Ит^г-^оо [f{^)/9{^)]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел
|
|
у |
fin) |
|
|
|
|
lim |
- т — , |
|
|
|
|
п->оо ^(тг) |
|
|
|
где |
f{n) — бесконечно |
большая |
последовательность |
порядка |
п" и |
д{п) |
— бесконечно |
большая |
последовательность |
порядка |
п^ |
(a,/3GR). |
|
|
|
|
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Вынесем в числителе множитель п^ ^ получим /(п) = п"(^(п), где Ишп-чоо ^(п) = а, а ^^ 0.
2. Вынесем в знаменателе множитель п^, получим д{п) = п^'ф(п)^ где Ишп-^оо Ф{п) = Ь, Ьф 0.
3. Имеем
/(п) lim —-г- =
п-)-оо ^(п)
4. Получаем:
л / |
\ |
lim п Х п ) .
п->оо п^гр[п)
если |
а > /3, |
то |
lim |
. . = оо; |
|
|
|
если |
а < /3, |
то |
lim |
—г-г = 0; |
|
|
|
|
|
|
п->оо ^ ( п ) |
|
|
|
|
если |
о; = /?, |
то по теореме о пределе частного |
|||||
|
|
|
|
п/\ |
lim |
(/?(n) |
|
|
|
|
lim |
Zil^ = |
n->oo^^ ^ ^ |
a |
|
|
|
|
n->oo ^(n) |
lim |
V^(n) |
6 |
76 |
Гл.З. Пределы |
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ предел
lim --——»,
"->о° (n + i/n) Vn^ - 1
РЕШЕНИЕ. Числитель n %^ + \/32n^^ 4-1 — бесконечно большая последовательность порядка n^ и знаменатель (п + ^/п) \/n^ — 1 — бесконечно большая последовательность порядка п?.
1.Вынесем в числителе множитель п^, получим
2.Вынесем в знаменателе множитель п^, получим
(п+ t/57) V;^^= п^ (l + ; ^ ) уь1Т.
3. Имеем
пУН+^32п10 + 1 _ |
п^(1/п'/б + 2 y i + l/n^o) |
" ^ (П + t/^) V^^S-ZT " пД^ „2(1 + 1/пЗ/4) y i - l / n S •
4. Сокращая п? и используя теоремы о пределах, |
окончательно |
|
получаем |
|
|
пУИ+У32п10 + 1 _ |
1/п5/б + 2 y i + 1/ni» |
^ |
п ^ (п + t/H) V^^3-ri; •" n ^ |
(1 + 1/пЗ/4) y i - 1 / п З |
~ |
^ |
liin„_^(l/nV6 ^ 2 y i |
+ 1/п^») ^ ^ |
|
lim„^oo(l + 1/пЗ/4) y i - 1 / п З |
ЗАМЕЧАНИЕ. В данном случае было использовано свойство корня,
в силу которого lim„_>oo |
У 1 + 1/п^° = 1 и lim„_+oo У 1 — l/n^ = 1. |
||
Ответ, lim |
, ^ |
, , |
= 2. |
n-voo |
(„ 4- i/n) |
Vn3 |
- 1 |
|
|
|
3.4. Вычисление lim„_).oo [w(n)^^"^] |
77 |
||||||||
Условия ЗАДАЧ. Вычислить |
пределы. |
|
|
|
||||||||
1. |
lim |
-Z— |
= . |
2. |
lim |
"->°° |
Vn^ -f 3 + \/nM-2 |
|||||
|
r^-^oo (тг + x/n)\/7 - n -f п2 |
|
|
|
|
|||||||
^ |
,. |
\/2n3 + 3 - |
гЛГГб |
|
, |
|
\ . |
|
|
\Л52ТЗ + ЗпЗ |
||
3. |
lim |
о, |
: . |
4. |
lim |
|
Vn^'^ + 2n + 1 - : |
|||||
|
"-^oo |
\/ггЗ + 2 - |
\/n - 1 * |
|
|
' |
^^^ |
|||||
^ |
,. |
V3n + 2 - |
Vl25n3 + n |
^ |
,. |
|
n V n - V27n6 + n^ |
|||||
5. |
lim |
|
r-= |
. |
6. |
|
lim |
|
|
-—-— === - . |
||
|
n->oo |
X/n-\-n^ |
|
n-^oo |
(77,+ |
yn)v4 + |
n2 |
|||||
^ |
,. |
V r r T 2 - 4 A ^ 2 T 2 |
|
^ |
|
^. |
|
Vn^ + 3 + |
\ Л Г ^ |
|||
7. |
lim |
. , |
: |
q, |
8. |
|
lim |
., |
|
, |
|
|
|
П-УСХ) Vn^ + 1 - |
Vn2 - 1 |
|
|
|
^-^^ |
Vn^ H- 2 - Vn - 2 |
|||||
^ |
,. |
1 0 n 3 - V ' ; ? T 2 |
_ |
|
,. |
^/^ГТ2 - VSn^ + 3 |
||||||
9. |
lim —. |
|
. |
10. lim |
|
|
Д , |
. |
||||
|
n-^00 ^4n^ |
| 3 _ ^ |
|
|
|
n-^00 |
yn 4- 5 + n |
Ответы. 1. л/2. 2.0. 3. +oo. 4.3. 5.5. 6. - 3 . 7. - 1 . 8. +00. 9. 5. 10. - 2 .
3.4, Вычисление lim^_>oo ['^(^)^ ]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел последовательностей
lim [и{пУ^''\
П—>СХ)
где lim^_^oo'^(^) = 1 ^ lim^_).oo'^(^) = оо.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы исполь зовать второй замечательный предел, т.е. выделим единицу:
a{ri)v{n)
ИтКп)''<"^]= lim f(l + Q(n))i/«("))'
где а{п) = и{п) — 1 — бесконечно малая последовательность при п -^ оо. Так как а{п) -^ О при п -> оо, то
lim(l + a(n))^/^(")=e.
п—>-оо
2. Если limn->oo «п = ^ (^п > О, а > 0) и limn->oo Ьп = 6, то
lim ttn^'^ = а^.
78 |
Гл. 3. Пределы |
Следовательно, если существует предел |
|
lim |
a{n)v{n) = lim {и{п) — l)v{n), |
n—>оо |
|
то окончательно имеем
lim [и{п)v(n)] _ glimn_>cx)(ii(n)-l)i)(n)
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ предел
lim |
4n^ + 4n - 1 l - 2 n |
n->oo у 4n^ 4- 2n -h 3 |
РЕШЕНИЕ.
1. При n •Ч' oo выражение под знаком предела представляет собой степень, основание которой стремится к единице:
п->оо уАп^ + 2гг + 3
а показатель — к минус бесконечности:
lim (1 — 2n) = —ОС.
п->оо
Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел:
4п^ + 4п - 1 1 - 2п |
|
2 г г - 4 |
1 - 2п |
|
4п2 + 2п + 3 |
- ( 1 + 4п2 + 2п + 3 |
|
||
|
|
|
( 2 n - 4 ) ( l - 2 n ) |
|
|
|
4n2 + 2n + 3 |
4п2 + 2n + 3 |
|
|
|
2 п - 4 |
2 n - 4 |
|
|
|
4гг2 + 2п + 3 |
|
|
Так как |
|
2гг-4 |
|
|
|
|
- >0 |
|
|
при п —> оо, то |
|
4п2 + 2n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n - 4 |
4n2 + 2n + 3 |
|
lim |
l-f |
2 n - 4 |
e. |
|
4n2 + 2n + 3 |
= |
|||
oo V |
|
|