Типовой расчет-Кратные интегралы-Вариант 15

7 _ 04 _15

Вычислить:

∫∫∫y

2

πxy

cos

dx dy dz;

V

2

x

= 0,

y = −1, y = x,

V

= 0, z = 2π2 .

z

Решение:

Т.к. подынтегральная фунуция не зависит от z, интегрирование нужно начать

по переменной z, при этом пределы интегрирования по z равны 0 и 2π2 . Если

затем интегрировать по y, то придется дважды интегрировать по частям,

поэтому проинтегрируем сначала по x, затем по y. Очевидно, что пределы

интегрирования по y будут -1 и 0, по x - y и 0.

2

πxy

0

2

0

πxy

2π2

2 0

2

2

πxy

0

∫∫∫y

cos

dx dy dz

= ∫

y

dy∫cos(

2

)dx ∫ dz = 2π

∫

y

dy

sin

2

=

V

2

−1

y

0

−1

π y

y

= −2π

2

0

2 2sin(π y2 / 2)

0

2

−cos

π y2

0

= 4

∫y

π y

dy = −4π ∫y sin(π y

/ 2)dy = −4

2

−1

−1

−1

y2

−2 y + x2

= 0,

y2

−6 y + x2

= 0,

y2 −6 y + x2

= 0 r2 sin2 ϕ −6r sin ϕ + r2 cos2 ϕ = 0 r = 6sin ϕ.

Прямая y =

x

имеет полярное уравнение r sin ϕ = r cosϕ

.

3

3

Откуда tgϕ

= 1

3

ϕ =π

6

. Аналогично

x = 0 r cosϕ = 0 cosϕ = 0 ϕ =

π

2

Тогда площадь фигуры будет определяться по формуле:

π / 2

6 sin ϕ

π

/ 2

2

6 sin ϕ

π / 2

S = ∫∫dxdy = ∫

dϕ

∫ rdr =

∫

dϕ

r

= ∫ 16sin2 ϕdϕ =

D

π / 6

2 sin ϕ

π / 6

2

2 sin ϕ

π / 6

= (8ϕ + 4sin 2ϕ)

π 3

3

π

=16

+

≈11.84

π

8

6

6

x2 + y2 = 8, x = 2 y, x = 0,

z = 30 y 11,

z = 0.

Решение:

8−y

2

30 y /11

30

2

30

y2

2

2

8−x

2

8−x2

V = ∫∫∫dx dy dz = ∫dy ∫

dx

∫

dz =

∫dx ∫

y dy =

∫

|2

dx =

11

11

2

G

0

2 y

0

0

x2

0

x

2

2

= 30

2

x

4

30

x

3

x

5

2

8 − x2 −

dx =

8x −

−

|

=16

22

20

22

∫0

4

3

0

y = 2x2 −1,

y =1,

z = x2

−5 y2

−3,

z = x2

−5 y2 −6.

Решение:

1

1

x2 −5 y2 −3

1

1

1

(−2x2 + 2)dx =

V = ∫dx

∫

dy

∫

dz = ∫dx

∫

3dy = 3 ∫

−1

2 x2 −1

x2 −5 y2 −6

−1

2 x2 −1

−1

x

3

1

4

= 6 −

+ x

|

= 6

= 8

3

3

−1

2

2

z

3

z

= 36

− x

− y

= 36 −

(

x2 + y

2

)

z2

= 36 −

63z2

z

=

4

x

2

+ y

2

2

2

2

2

2

2

576

x

+ y

=

63z

z

=

x + y = 63z

2

2

63

+ y

=

x

16

2π

9 7 / 4

36−r2

2π

9 7 / 4

2

r

V =

∫dϕ

∫

r dr

∫

dz = ∫dϕ

∫

r

36

−r

−

dr

=

63

0

0

r /

63

0

0

2π

567

567

1

4

d (360r2 )−

4

r

2

= ∫dϕ

−

∫

36 −r2

∫

dr

=

2

63

0

0

0

2π

1

3

r

3

567

2π

4

= ∫dϕ

−

(36 −r2 )2 −

|

=

∫63 dϕ =126π

3

3 63

0

0

0