Типовой расчет-Кратные интегралы-Вариант 15
.pdf7 _ 04 _15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫∫∫y |
2 |
|
|
|
πxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
dx dy dz; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
V |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= 0, |
y = −1, y = x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V |
|
|
= 0, z = 2π2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т.к. подынтегральная фунуция не зависит от z, интегрирование нужно начать |
|
||||||||||||||||||||||||||||
по переменной z, при этом пределы интегрирования по z равны 0 и 2π2 . Если |
|
||||||||||||||||||||||||||||
затем интегрировать по y, то придется дважды интегрировать по частям, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
поэтому проинтегрируем сначала по x, затем по y. Очевидно, что пределы |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
интегрирования по y будут -1 и 0, по x - y и 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
πxy |
|
0 |
|
2 |
0 |
πxy |
|
|
2π2 |
2 0 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
πxy |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫∫∫y |
|
cos |
dx dy dz |
= ∫ |
y |
|
dy∫cos( |
2 |
)dx ∫ dz = 2π |
∫ |
y |
|
dy |
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
|
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
V |
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
|
|
y |
|
|
0 |
−1 |
|
|
π y |
|
|
|
y |
|
|||||||
= −2π |
2 |
0 |
2 2sin(π y2 / 2) |
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
−cos |
π y2 |
|
|
0 |
= 4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∫y |
π y |
dy = −4π ∫y sin(π y |
|
/ 2)dy = −4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 _ 07 _15
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:
y2 |
−2 y + x2 |
= 0, |
y2 |
−6 y + x2 |
= 0, |
y = x 3 , x = 0.
Решение:
Два первых уравнения легко преобразовать к виду:
(y −1)2 + x2 =1 (y −3)2 + x2 = 9
Эти уравнения определяют окружности. Введем полярную систему координат:
x = r cosϕ
y = r sin ϕ
Окружность y2 −2 y + x2 = 0 имеет полярное уравнение
r2 sin2 ϕ −2r sinϕ + r2 cos2 ϕ = 0. Откуда r = 2sin ϕ. Аналогично
y2 −6 y + x2 |
= 0 r2 sin2 ϕ −6r sin ϕ + r2 cos2 ϕ = 0 r = 6sin ϕ. |
|||||||||||||||||
Прямая y = |
x |
|
|
имеет полярное уравнение r sin ϕ = r cosϕ |
. |
|||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
Откуда tgϕ |
= 1 |
|
|
3 |
ϕ =π |
6 |
. Аналогично |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = 0 r cosϕ = 0 cosϕ = 0 ϕ = |
π |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда площадь фигуры будет определяться по формуле: |
|
|||||||||||||||||
|
π / 2 |
|
|
|
6 sin ϕ |
|
|
π |
/ 2 |
|
2 |
|
|
|
6 sin ϕ |
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S = ∫∫dxdy = ∫ |
dϕ |
∫ rdr = |
∫ |
dϕ |
r |
|
|
|
|
|
= ∫ 16sin2 ϕdϕ = |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
D |
π / 6 |
|
|
|
2 sin ϕ |
|
|
π / 6 |
2 |
|
|
|
2 sin ϕ |
π / 6 |
|
|||
= (8ϕ + 4sin 2ϕ) |
|
π 3 |
|
3 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
=16 |
|
|
+ |
|
≈11.84 |
|
|
||||||||
|
π |
|
8 |
|
6 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 _10 _15 _1
Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:
x2 + y2 = 8, x = 2 y, x = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z = 30 y 11, |
z = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8−y |
2 |
|
30 y /11 |
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
2 |
30 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
8−x |
2 |
|
8−x2 |
|
|||||||||
V = ∫∫∫dx dy dz = ∫dy ∫ |
|
dx |
∫ |
dz = |
|
∫dx ∫ |
y dy = |
|
∫ |
|
|2 |
|
dx = |
|||||||||||||
|
11 |
11 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
G |
|
|
|
0 |
2 y |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
x2 |
|
0 |
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 30 |
2 |
|
x |
4 |
|
|
30 |
|
|
x |
3 |
|
x |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 − x2 − |
|
dx = |
8x − |
|
− |
|
| |
=16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
22 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
22 |
∫0 |
4 |
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7_10_15_2
7 _12 _15 _1
Найтиобъем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:
y = 2x2 −1, |
y =1, |
|
|
|
|
|
|
||||||
z = x2 |
−5 y2 |
−3, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
z = x2 |
−5 y2 −6. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
1 |
|
x2 −5 y2 −3 |
|
1 |
1 |
1 |
(−2x2 + 2)dx = |
|||
V = ∫dx |
∫ |
dy |
|
∫ |
|
dz = ∫dx |
∫ |
3dy = 3 ∫ |
|||||
−1 |
|
2 x2 −1 |
|
x2 −5 y2 −6 |
|
−1 |
2 x2 −1 |
−1 |
|
||||
|
|
x |
3 |
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
= 6 − |
|
+ x |
| |
= 6 |
|
= 8 |
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
7_12_15_2
7 _13 _15
Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями: z = 36 − x2 − y2 ,
z = x2 + y2 63.
Решение:
Перейдем к цилиндрической системе координат:
x = r cosϕ
y = r sin ϕz = z
Найдем линию пересечения графиков функций:
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
z |
= 36 |
− x |
|
|
− y |
|
|
|
= 36 − |
( |
x2 + y |
2 |
) |
|
|
|
z2 |
= 36 − |
63z2 |
|
|
z |
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
576 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ y |
= |
63z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y = 63z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
|
= |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
16 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
9 7 / 4 |
|
|
36−r2 |
|
|
|
|
2π |
|
|
9 7 / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
V = |
∫dϕ |
|
∫ |
|
|
r dr |
|
∫ |
dz = ∫dϕ |
|
∫ |
r |
|
|
36 |
−r |
|
− |
|
|
|
dr |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
r / |
|
63 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
567 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
567 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
d (360r2 )− |
|
|
4 |
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= ∫dϕ |
|
− |
|
|
|
∫ |
|
36 −r2 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
dr |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
r |
3 |
|
|
|
567 |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= ∫dϕ |
|
− |
|
|
(36 −r2 )2 − |
|
|
|
| |
|
= |
|
∫63 dϕ =126π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
3 63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|